Álgebra - Anéis

Nesse exercício vamos estudar os anéis algébricos, particularmente os anéis comutativos.

Para começar, lembremos a definição de anel para a álgebra: conjunto em que se define duas operações binárias (adição e multiplicação) e satisfazer as seguintes propriedades:

• Grupo Abeliano sobre a adição: $a+b=b+a\in G, \forall a,b\in G$
• Monóide sobre a multiplicação: $a\cdot b\in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)=a\cdot b\cdot c, \exists e\in G| a\cdot e\equiv a$
• $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

Para esse conjunto ser comutativo, deve também valer a propriedade: $a\cdot b=b\cdot a$.

Vamos então ao nosso caso. É definida a operação de adição como $x+y=x\cap y$ e a de multiplicação como $x\cdot y=x\cap y$. Sabemos que para a intersecção vale a comutatividade, logo nosso conjunto é abeliano. Sabemos ainda que a intersecção é associativa e comutativa e para o elemento neutro temos o conjunto universo, validando a segunda e a última propriedades. Para a propriedade distributiva, temos:

$$a\cdot(b+c)=a\cap(b\cap c)=a\cap b\cap c=a\cap a\cap b\cap c =a\cap b\cap a\cap c =(a\cdot b)+(a\cdot c)$$

Todas as propriedades são válidas, logo mostramos que o conjunto dado é um anel comutativo.

Nesse exercício vamos estudar os anéis algébricos, particularmente os anéis comutativos.

Para começar, lembremos a definição de anel para a álgebra: conjunto em que se define duas operações binárias (adição e multiplicação) e satisfazer as seguintes propriedades:

• Grupo Abeliano sobre a adição: $a+b=b+a\in G, \forall a,b\in G$

• Monóide sobre a multiplicação: $a\cdot b\in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)=a\cdot b\cdot c, \exists e\in G| a\cdot e\equiv a$

• $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

Para esse conjunto ser comutativo, deve também valer a propriedade: $a\cdot b=b\cdot a$.

Vamos então ao nosso caso. É definida a operação de adição como $x+y=x\cap y$ e a de multiplicação como $x\cdot y=x\cap y$. Sabemos que para a intersecção vale a comutatividade, logo nosso conjunto é abeliano. Sabemos ainda que a intersecção é associativa e comutativa e para o elemento neutro temos o conjunto universo, validando a segunda e a última propriedades. Para a propriedade distributiva, temos:

$$a\cdot(b+c)=a\cap(b\cap c)=a\cap b\cap c=a\cap a\cap b\cap c =a\cap b\cap a\cap c =(a\cdot b)+(a\cdot c)$$

Todas as propriedades são válidas, logo mostramos que o conjunto dado é um anel comutativo.

Nesse exercício vamos estudar os anéis algébricos, particularmente os anéis comutativos.

Para começar, lembremos a definição de anel para a álgebra: conjunto em que se define duas operações binárias (adição e multiplicação) e satisfazer as seguintes propriedades:

• Grupo Abeliano sobre a adição: $a+b=b+a\in G, \forall a,b\in G$

• Monóide sobre a multiplicação: $a\cdot b\in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)=a\cdot b\cdot c, \exists e\in G| a\cdot e\equiv a$

• $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

Para esse conjunto ser comutativo, deve também valer a propriedade: $a\cdot b=b\cdot a$.

Vamos então ao nosso caso. É definida a operação de adição como $x+y=x\cap y$ e a de multiplicação como $x\cdot y=x\cap y$. Sabemos que para a intersecção vale a comutatividade, logo nosso conjunto é abeliano. Sabemos ainda que a intersecção é associativa e comutativa e para o elemento neutro temos o conjunto universo, validando a segunda e a última propriedades. Para a propriedade distributiva, temos:

$$a\cdot(b+c)=a\cap(b\cap c)=a\cap b\cap c=a\cap a\cap b\cap c =a\cap b\cap a\cap c =(a\cdot b)+(a\cdot c)$$

Todas as propriedades são válidas, logo mostramos que o conjunto dado é um anel comutativo.