Calcule ∫ xex dx
É possível calcular essa primitiva usando a técnica de primitivação por partes, já que queremos a primitiva de um produto de funções.
Da regra do produto, temos:
\([f(x)g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g'(x)\)
=>
\(\int [f(x)g(x)]'dx=\int f(x)'g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx\)
Como \(\int [f(x)g(x)]'dx=f(x)g(x)\), temos:
\(f(x)g(x)=\int f(x)'g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx\)
=>
\(\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)'g(x)dx\)
Ou seja, sendo f(x) e g(x) duas funções, temos que:
\(\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx\)
onde G(x) é primitiva de g(x).
Sendo \(f(x)=x\) e \(g(x)=e^x\), temos:
\(\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx\)
\(=xe^x-e^x=e^x(x-1)\)
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Cálculo Diferencial e Integral A Uma Variável
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