Calculo diferencial e integral a uma variável - Prova discursiva. Alguém pode ajudar?

ok

É possível calcular essa primitiva usando a técnica de primitivação por partes, já que queremos a primitiva de um produto de funções. 

Da regra do produto, temos:

\([f(x)g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g'(x)\)

=>

\(\int [f(x)g(x)]'dx=\int f(x)'g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx\)

Como \(\int [f(x)g(x)]'dx=f(x)g(x)\), temos:

\(f(x)g(x)=\int f(x)'g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx\)

=>

\(\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)'g(x)dx\)

Ou seja, sendo f(x) e g(x) duas funções, temos que:

 \(\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx\)

 onde G(x) é primitiva de g(x).

Sendo \(f(x)=x\) e \(g(x)=e^x\), temos:

\(\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx\)

\(=xe^x-e^x=e^x(x-1)\)