a que taxa mensal de juros devo aplicar um capital de modo dobra_lo em 1 ano ?

Vai depender do regime de juros (se juros simples ou se juros compostos).
Como você não definiu qual o regime dos juros, mas considerando que a questão é bem simples, então vamos fazer pelas duas formas.

i) Considerando que os juros são simples.

Em juros simples, montante é dado por:

M = C*(1+i*n), em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n'' é o tempo.

Observe que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula acima:

M = 2C ---(veja que queremos que o capital dobre)
C = C
i = i% ao mês
n = 12 --- (note que um ano tem 12 meses).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula do montante acima, temos:

2C = C*(1+i*12)
2C = C*(1 + 12i) ---- dividindo ambos os membros por "C", ficaremos com:

2 = (1 + 12i) , ou apenas:
2 = 1 + 12i ---- passando "1" para o 1º membro, temos:

2 - 1 = 12i
1 = 12i , ou invertendo:

12i = 1
i = 1/12
i = 0,0833...., ou 8,33% ao mês <-- Esta será a taxa de juros mensais se o regime da operação for de juros simples.


ii) Considerando que os juros são compostos.

Veja que, em juros compostos, a fórmula do montante é esta:

M = C*(1+i)ⁿ , em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.

Observe que os dados para substituir na fórmula acima são os mesmos considerados para os juros simples.
Assim, fazendo as devidas substituições, temos:

2C = C*(1+i)¹² ---- dividindo ambos os membros por "C", ficamos apenas com:

2 = (1+i)¹² --- vamos apenas inverter, ficando:

(1+i)¹²= 2
1+i = ¹²√(2) ---- veja que ¹²√(2) = 1,0595 (aproximadamente). Logo:

1 + i = 1,0595
i = 1,0595 - 1
i = 0,0595 ou 5,95% ao mês <--- Esta será a taxa de juros mensais se o regime da operação for de juros compostos.

Nesse exercício vamos estudar o conceito de juros compostos:

$$M=M_0(1+r)^n$$

onde $M$ é o montante final, $M_0$ é o montante inicial, $r$ é a taxa mensal de juros e $n$ é o número de meses.

Queremos dobrar o montante inicial ao final de 12 meses:

$$2M_0=M_0(1+r)^{12}$$

Simplificando os montantes, e passando o expoente para o outro lado, temos:

$$r=\sqrt[12]{2}-1$$

Temos, aproximadamente:

$$\boxed{r\approx0,059=5,9\%}$$

Nesse exercício vamos estudar o conceito de juros compostos:

$$M=M_0(1+r)^n$$

onde $M$ é o montante final, $M_0$ é o montante inicial, $r$ é a taxa mensal de juros e $n$ é o número de meses.

Queremos dobrar o montante inicial ao final de 12 meses:

$$2M_0=M_0(1+r)^{12}$$

Simplificando os montantes, e passando o expoente para o outro lado, temos:

$$r=\sqrt[12]{2}-1$$

Temos, aproximadamente:

$$\boxed{r\approx0,059=5,9\%}$$