Como provar?

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Toda transformação linear de \(R^m → IR^n\) é dada por uma matriz \(A \in M_{m \times n}\). Logo, seja \(T\) uma transformação linear entre os espaços vetoriais dados onde \(x \mapsto Ax\). Então, para quaisquer x e y, teremos:

\(|T(x) - T(y)| = |Ax - Ay| = |A(x-y)| = |A||x-y|\)

Tome \(|A|\) como a norma da matriz \(A\) induzida pela norma de vetores, ou seja:

\(|A| = sup \{\frac{|Ax|}{|x|}, x \in R^m, x \neq 0\}\)

Logo, seja \(k\) tal que \(k > |A|\). Então:

\(|T(x) - T(y)| < k|x-y|, \ \forall x,y \in R^m \to \boxed{\text{L é lipschitz}}\)