Num triângulo ABC é dado X sobre o segmento AB tal que |→AX | = 2|→XB| e é dado Y sobre BC tal que |→BY | = 3|→YC |. Mostre que as retas CX se cruzam.

\(\[\begin{align} & AY\text{ }=\text{ }AB\text{ }+\text{ }BY \\ & AY\text{ }=\text{ }AB\text{ }+\text{ }\left( \frac{3}{4} \right)\text{x}BC \\ & CX\text{ }=\text{ }CB\text{ }+\text{ }BX \\ & CX\text{ }=\text{ }-\text{ }BC\text{ }-\text{ }\left( \frac{1}{3} \right)\text{x}AB\text{ } \\ & AY\text{ }=\text{ }\alpha CX\text{ },\text{ }\forall \text{ }\alpha \text{ }\text{ }IR \\ & AB\text{ }+\text{ }\left( 3/4 \right)\text{x}BC\text{ }=\text{ }-\text{ }\left( \frac{\alpha }{3} \right)AB\text{ }-\text{ }\alpha BC \\ & \left[ 1\text{ }+\text{ }\left( \frac{\alpha }{3} \right) \right]AB\text{ }=\text{ }\left[ -\alpha -\left( \frac{3}{4} \right) \right]BC \\ & \left[ -\alpha -\left( \frac{3}{4} \right) \right]\text{ }BC\text{ }=\text{ }AB \\ & \left[ 1\text{ }+\text{ }\left( \frac{\alpha }{3} \right) \right] \\ & Portanto: \\ & as\text{ }retas\text{ }CX\text{ }e\text{ }AY\text{ }se\text{ }cortam.\text{ } \\ \end{align}\] \)

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AY = AB + BY 

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AY = AB + (3/4).BC 

Por outro lado, temos que: 

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CX = CB + BX 

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CX = - BC - (1/3).AB 


Devemos mostrar então que AY e CX não são paralelos, como esses vetores estão dispostos em IR² , então admitimos representantes( segmentos orientados ) perpendiculares, para isso, devemos supor que AY e CX sejam paralelos e chegar a conclusão de um ´´absurdo``, temos: 


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AY = αCX , ∀ α Є IR 

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AB + (3/4).BC = - (α/3)AB - αBC 

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[1 + (α/3)]AB = [-α-(3/4)]BC 



[-α-(3/4)]..▬►...▬► 
▬▬▬▬ .BC = AB 
[1 + (α/3)] 


Desse modo nota-se que AB e BC seriam paralelos, o que é um absurdo!! 

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Logo, as retas CX e AY se cortam.