Problema .

opa

O principal conceito para resolução deste exercício é o conceito de que cargas aceleradas emitem radiação. Para esse caso nós temos uma carga cuja aceleração $a=\frac{d^2y}{dt^2}$ varia com o tempo senoidalmente. Vamos supor que a velocidade com que a carga elétrica se desloca seja muito menor que a velocidade da luz, logo estamos no limite não-relativístico, portanto, para fazer esse cálculo, fazemos o uso da formula de Larmor:

$$P=\frac{q^2 a^2}{6\pi\epsilon_0 c^3},$$

onde $q$ é a carga elétrica, $a$ é a aceleração da carga elétrica, $\epsilon_0$ é a permissividade elétrica do vácuo e $c$ é a velocidade da luz.

Como sabemos que $y=A\text{sen}(\omega t)$, temos que $a=\frac{d^2y}{dt^2}=-A\omega^2\text{sen}(\omega t)$, logo:

$$P=\frac{q^2 A^2\omega^4\text{sen}^2(\omega t)}{6\pi\epsilon_0 c^3}.$$

Então, para calcular a energia radiada em um ciclo, precisamos integrar a expressão acima na variável $t$. Um ciclo completo acontece no período $\{0,\frac{2\pi}{\omega}\}$, portanto, integrando em $t$ com esses limites de integração, obtemos:

$$W=\int\limits_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}dt\frac{q^2 A^2\omega^4\text{sen}^2(\omega t)}{6\pi\epsilon_0 c^3}=\frac{q^2A^2\omega^4}{6\pi\epsilon_0c^3}\int\limits_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}dt\text{sen}^2(\omega t).$$

A integral que precisamos resolver é conhecida e seu resultado é

$$\int\limits_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}dt\text{sen}^2(\omega t)=\frac{\pi}{\omega}.$$

Logo, chegamos que

$$W=\frac{q^2A^2\omega^{\cancel{4}}}{6\cancel{\pi}\epsilon_0c^3}\frac{\cancel{\pi}}{\cancel{\omega}}.$$

Enfim, conseguimos mostrar que

$$\boxed{W=\frac{q^2A^2\omega^3}{6\epsilon_0c^3}}.$$