Seja R a região limitada pela parábola e a reta Determine o volume do sólido de revolução, obtido quando R gira em torno:

a) Da reta y=-2
b) Da reta x=-1

integral dupla nos dois casos.
primeiro, a região de revolução tem seus limites nos pontos onde as duas se encontram, num mesmo valor de y:
x² = x
x² - x = 0
x (X-1) = 0
x pode ser 0 ou 1 (guardamos esses valores, vão ser os limites de uma integral)

Primeira integral: área da seção (corte) ao longo de um plano ao longo do eixo x.
Temos que trabalhar com o perímetro de uma circunferência com "centro" em y=-2 e abrange a área que sofre a revolução. O raio dessa circunferência é a distância do y atual até -2.
R = Y - (-2) = Y + 2
Perímetro seria 2.pi.R = 2.pi.(Y+2)
O perímetro eu integro para Y variando de x até x²:

Integral [2.pi.(Y+2)] dY = 2.pi.(Y²/2 + 2Y) para Y entre x e x²:
2.pi.[(x²)²/2 + 2x² - x²/2 - 2x]
2.pi.[x^4/2 + 3/2 x² - 2x]
Este valor corresponde a uma coroa circular, que seria uma área do corte já descrito.

Agora precisamos integrar em x. Como calculamos lá em cima, x varia de 0 até 1.

integral [2.pi.(x^4/2 + 3/2 x² - 2x)] dx
2.pi.(x^5/10 + 1/2 x³ - x²) variando de 0 a 1
2.pi.[(1^5/10 + 1/2. 1³ - 1²) - 0]
2.pi. | 1/10 + 1/2 - 1 |
2.pi.0,4
Volume total do sólido 1 = 2,51

Mesmo processo para o segundo caso, mas invertendo a ordem:
vemos que por y = x, y também varia de 0 a 1
A seguir os cálculos dentro da mesma lógica:

R = X - (-1) = X + 1
Perímetro seria 2.pi.R = 2.pi.(X+1)

Integral [2.pi.(X+1)] dx = 2.pi.(X²/2 + X) para x entre y e raiz(y):
2.pi.[y/2 + raiz(y) - y²/2 - 2y]
2.pi.(raiz(y) - y²/2 - 3/2 y)

integral [2.pi.(raiz(y) - y²/2 - 3/2 y)] dy
2.pi.(y^1,5/1,5 + 1/6 y³ - 3/4 y²) variando de 0 a 1
2.pi.[(1^1,5/1,5 + 1/6 1³ - 3/4 1²) - 0]
2.pi.[2/3 + 1/6 - 3/4]
2.pi.[1/12]
pi/6
Volume total: 0,5236