Sendo ABCD um hexágono regular de centro O, prove que : AB+AC+AD+AE+AF=6 AO

AB+AC+AD+AE+AF

(AO+OB)+(AO+OC)+(AO+OD)+(AO+OE)+(AO+OF)

=5AO+ OB+OC+OD+OE+OF

=5AO+OB+OC+AO-OB-OC

=6AO.

observaçoes: OD=AO/ OE=-OB/ OF=-OC. FAZENDO A FIGURA DO HEXAGONO: VERIFICAMOS QUE:

AB=AO+OB

AC=AO+OC

AD=AO+OD......

AE=AO+OE

AF+AO+OF

Para provar essa igualdade realizaremos os cálculos abaixo:

 
\(\begin{align}&&AB{\text{ }} &= {\text{ }}AO{\text{ }} + {\text{ }}OB\\&&\;AC{\text{ }} &= {\text{ }}AO{\text{ }} + {\text{ }}OC\;\\&&AD{\text{ }} &= {\text{ }}AO{\text{ }} + {\text{ }}OD\;\\&&AE{\text{ }} &= {\text{ }}AO{\text{ }} + {\text{ }}OE\\&&\;AF{\text{ }} &= {\text{ }}AO{\text{ }} + {\text{ }}OF\;\\&&AO + OB + AO + OC + AO + OD + AO + OE + AO + OF{\text{ }} &= \;\\&&5AO{\text{ }} + {\text{ }}OB{\text{ }} + {\text{ }}OC{\text{ }} + {\text{ }}OD{\text{ }} + {\text{ }}OE{\text{ }} + {\text{ }}OF{\text{ }} &= \;\\&&OB{\text{ }} &= {\text{ }} - {\text{ }}OE\\&&OC{\text{ }} &= {\text{ }} - {\text{ }}OF\;\\&&OD{\text{ }} &= {\text{ }}AO\\&&\;5AO{\text{ }} - {\text{ }}OE{\text{ }} - {\text{ }}OF{\text{ }} + {\text{ }}AO{\text{ }} + {\text{ }}OE{\text{ }} + {\text{ }}OF{\text{ }} = \;\\&&5AO{\text{ }} + {\text{ }}AO{\text{ }} &= {\text{ }}6AO\end{align}\)

Portanto, concluimos que \(\boxed{{\text{5AO + AO = 6AO}}}\) .