Resolver a inequação tan(2x) > 1 para x pertence(0, pi)

Para 0º < y < 45º (pi/4) temos: 0 < tan(y) < 1

Para y = 45º (pi/4) temos: tan(y) = 1

Para 45º (pi/4) < y < 90º (pi/2) temos: tan(y) >1

Para y = 90º (pi/2) temos: tan(y) não existe.

Para 90º (pi/2) < y < 180º (pi) temos: tan(y) < 0

(Não foi necessário fazer os testes para os valores de 0 e pi, já que temos um intervalo aberto.)

Logo, para tan(y) ser maior do que 1, temos: 45º (p1/4) < y < 90º (pi/2)

Tomando y = 2x, temos:

pi/4 < 2x, então: pi/8 < x

2x < pi/2, então: x < pi/4

Logo. pi/8 < x < pi/4

O gráfico da função \(\tan(2x)\) está no link a seguir:

Considerando \(x\) no intervalo \((0,\pi)\), \(2x\) está no intervalo \((0,2\pi)\). Portanto, a solução da inequação é:

\(\Longrightarrow \tan(2x) >1\)

\(\Longrightarrow {\pi \over 4} <2x < {\pi \over 2}; \,\,\,\,{5 \pi \over 4} < 2x<{3\pi \over 2}\)

\(\Longrightarrow {\pi \over 4\cdot 2} <x < {\pi \over 2\cdot 2}; \,\,\,\,{5 \pi \over 4\cdot 2} < x<{3\pi \over 2\cdot 2}\)

\(\Longrightarrow {\pi \over 8} <x < {\pi \over 4}; \,\,\,\,{5 \pi \over 8} < x<{3\pi \over 4} \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} {\pi \over 8} <x < {\pi \over 4} \\ {5 \pi \over 8} < x<{3\pi \over 4} \end{matrix} \right. $}\)