A maior rede de estudos do Brasil

Taxa relacionada

Duas cidades, A e B, ambas com energia el´etrica, se situam em pontos opostos um ao outro nas margens de um rio reto de 30 km de largura. Uma terceira cidade C se situa a 60km rio abaixo da cidade B e n˜ao tem energia el´etrica. Uma companhia de energia el´etrica decidiu fornecer-lhe energia. Visto que a energia seria fornecida pela usina situada na cidade A e sendo o custo por km de cabeamento por agua ´ 25% mais caro que o custo por km do cabeamento por terra, qual deveria ser o cabeamento feito pela companhia para que o custo final fosse o mais barato?

Cálculo I

CEFET/RJ


Ainda não temos resposta. Você sabe responder?

User badge image

RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

A figura encontrada no link: http://prntscr.com/ipqigh reproduz graficamente o problema, para resolver este problema precisamos calcular o comprimento dos segmentos e minimizá-lo.

Assim temos que o cabeamento será dado pelas somas do segmentos por agua e por terra.

Se o cabeamento tiver x km por terra, logo terá \(y=\sqrt{(60-x)^2+30^2}\) km por água.

Assim a quantidade de cabo utilizada será x+y. Assumindo o preço do cabo por terra por km como 1, o cabo por agua custará 1,25, assim o custo total será:

\(C(x)=x+1,25\cdot \sqrt{(60-x)^2+30^2}\)

Derivando a função encontraremos:

\(\frac{dC(x)}{dx}=1+\frac{2,5x}{\sqrt{(60-x)^2+30^2}}\)

Ao igualar a zero teremos:

\(-1=\frac{2,5x}{\sqrt{(60-x)^2+30^2}}\)

\(\sqrt{(60-x)^2+30^2}=-2,5x\)

\((60-x)^2+30^2=6,25x^2\)

\(5,25x^2+120x-4500=0\)

Resolvendo a equação de segundo grau encontraremos: x=20, a outra solução é negativa, portanto não convém.

Assim, o cabeamento deverá ser feito com 20km por terra e 50km por água.

 

A figura encontrada no link: http://prntscr.com/ipqigh reproduz graficamente o problema, para resolver este problema precisamos calcular o comprimento dos segmentos e minimizá-lo.

Assim temos que o cabeamento será dado pelas somas do segmentos por agua e por terra.

Se o cabeamento tiver x km por terra, logo terá \(y=\sqrt{(60-x)^2+30^2}\) km por água.

Assim a quantidade de cabo utilizada será x+y. Assumindo o preço do cabo por terra por km como 1, o cabo por agua custará 1,25, assim o custo total será:

\(C(x)=x+1,25\cdot \sqrt{(60-x)^2+30^2}\)

Derivando a função encontraremos:

\(\frac{dC(x)}{dx}=1+\frac{2,5x}{\sqrt{(60-x)^2+30^2}}\)

Ao igualar a zero teremos:

\(-1=\frac{2,5x}{\sqrt{(60-x)^2+30^2}}\)

\(\sqrt{(60-x)^2+30^2}=-2,5x\)

\((60-x)^2+30^2=6,25x^2\)

\(5,25x^2+120x-4500=0\)

Resolvendo a equação de segundo grau encontraremos: x=20, a outra solução é negativa, portanto não convém.

Assim, o cabeamento deverá ser feito com 20km por terra e 50km por água.

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas