Seja T: R² → R² um operador linear tal que T(2, 0) = (−2, 1) e T(1, -1) = (2, 5). Determine a lei que define este operador.

T(x, y)=T(x*(1,0)+y*(0,1))=x*T(1, 0)+y*T(0, 1).

Como T(2, 0)=(-2, 1), segue que T(1,0)=T((1/2)*(2, 0))=1/2*T(1,0) (O escalar pode sair de T, pois T é linear). Portanto, T(1, 0)=(1/2)*(-2, 1)=(-1, 1/2). 

Por outro lado,

T(1,-1)=T((1, 0)-(0, 1))=T(1, 0)-T(0, 1), pois T é linear, daí T(a-b)=T(a)-T(b).

Assim,

T(0,1)=T(1, 0)-T(1, -1)=(-1, 1/2)-(2, 5)=(-3, -9/2).

Dessa forma,

T(x, y)=x*T(1, 0)+y*T(0, 1)= x(-1, 1/2)+y(-3, -9/2)=(-x-3y, x/2-9y/2).

Vamos considerar a seguinte equação:

\(\Longrightarrow (x,y) = a \cdot (2,0) + b \cdot (1,-1)\)

Agora, vamos deduzir as equações de \(a\) e \(b\) em função de \(x\) e \(y\).

Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (x,y) = (2a,0) + (b,-b)\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2a+b = x & (I) \\ 0-b=y & (II) \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2a+b = x & (I) \\ b=-y & (II) \end{matrix} \right.\)

Substituindo a equação \((II)\) na equação \((I)\), a equação de \(a\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2a-y = x & (I) \\ b=-y & (II) \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2a = x+y & (I) \\ b=-y & (II) \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline { a = {1 \over 2}(x+y ) } & (I) \\ \underline { b=-y} & (II) \end{matrix} \right.\)

Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\) na equação inicial do exercício, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (x,y) = a \cdot (2,0) + b \cdot (1,-1)\)

\(\Longrightarrow (x,y) = {1 \over 2} (x+y) \cdot (2,0) -y \cdot (1,-1)\)    \((III)\)

Agora vamos aplicar o operador linear \(T: \, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) na equação \((III)\). Sendo \(T(2,0) = (-2,1)\) e \(T(1,-1) = (2,5)\),  a resposta final de exercício é:

\(\Longrightarrow T(x,y) = {1 \over 2} (x+y) \cdot T(2,0) -y \cdot T(1,-1)\)

\(\Longrightarrow T(x,y) = {1 \over 2} (x+y) \cdot (-2,1) -y \cdot (2,5)\)

\(\Longrightarrow T(x,y) = \Big (-2\cdot {1 \over 2} (x+y),\,1\cdot {1 \over 2} (x+y) \Big ) - (2y,5y)\)

\(\Longrightarrow T(x,y) = \Big (-x-y,\,{1 \over 2} x+{1 \over 2}y \Big ) - (2y,5y)\)

\(\Longrightarrow T(x,y) = \Big (-x-y-2y,\,{1 \over 2} x+{1 \over 2}y-5y \Big ) \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ T(x,y) = \Big (-x-3y,\,{1 \over 2} x-{9 \over 2}y \Big ) $}\)