Como fazer o calculo de taxas relacionadas

Exemplo prático: Um comedouro de ração em uma viário no formato de um cone invertido com o raio do topo medindo  e de altura  reduz sua quantidade da razão a uma taxa constante de . Qual é a taxa de variação da altura da ração quando ela está com ?

Primeiramente deve-se relacionar o raio com a altura, usando semelhanças de triângulos: 

 

 .

Substituindo na equação do volume tem-se: 

 .

Derivando em relação ao tempo fica-se com: 

 .

Substituindo os dados fornecidos pelo problema tem-se: 

 ,

onde manipulando a expressão chega-se a solução desejada: 

 .

Veja outros exemplos de taxas relacionadas clicando aqui ou aqui.

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Em muitos problemas físicos temos duas ou mais quantidades variando simultaneamente entre si. Nestes casos chamamos de problema de Taxas relacionadas.

Para melhor compreensão, vamos utilizar como exemplo  o escoamento de um reservatório com um formato de um cone invertido: Um comedouro de ração em uma viário no formato de um cone invertido com o raio do topo medindo \(40 cm\) e de altura \(60 cm\) reduz sua quantidade da razão a uma taxa constante de \(120 cm^3/h\). Qual é a taxa de variação da altura da ração quando ela está com \(25 cm\)?

Perceba que o volume, a altura e o raio são funções que dependem do tempo e estão relacionadas pela equação do volume:

\(V=\frac{\pi r^2h}3\)

Além disso, do triângulo formado, podemos retirar a seguinte relação:

\(\frac{40}2=\frac{60}h \rightarrow r=\frac{2h}3\)

Substituindo essa última expressão na fórmula de volume, obtemos uma função em função de h. Então derivamos em relação ao tempo e obtemos:

\(\frac{dV}{dt}=\frac{4\pi \ h^2}{9} \frac{dh}{dt}\)

Substituindo os dados do enunciado, chegamos a :

\(\boxed{ \frac{dh}{dt}=\frac{54}{125 \pi} cm/h}\)

fonte: http://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/derivadas/aplicacoes-de-derivadas/taxas-relacionadas/