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Divisão de polinômios:

Na divisão do polinômio p(x) = 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1 pelo polinômio Q(x) = bx^3 + 4x^2 + 1, obtiveram-se o quociente H(x) = x^2 + 2 e o resto R(x) = 3x + c, em que a, b e c são números reais. Então o valor de 1/5 (a+b+c) é:

a) 0
b) -2
c) -3
d) 1
e) 2

💡 1 Resposta

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RD Resoluções

A divisão do polinômio \(p(x) = 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1\) pelo polinômio \(q(x) = bx^3 + 4x^2 + 1\) é:

\(\Longrightarrow 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1 \, | \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)


1. Dividindo \(2x^5 \) por \(bx^3\), o resultado é:

\(\Longrightarrow 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1 \, | \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)
                                                               \(\color {Blue} {{2 \over b}x^2}\)

Multiplicando o termo azul por \(q(x) = bx^3 + 4x^2 + 1\), o resultado é:

\(\Longrightarrow 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1 \, | \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)
           \(\color {Blue} {2x^5 +{8 \over b}x^4+{2 \over b} x^2 }\)                         \({2 \over b}x^2\)

\(\Longrightarrow 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1 \, \,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,| \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)
        \(\underline {-(2x^5 +{8 \over b}x^4+{2 \over b} x^2) }\)                                      \({2 \over b}x^2\)
         \(\color{Blue} { (a-{8 \over b})x^4 + 4x^3 + (9-{2 \over b})x^2 + 3x+1}\)        


2. Dividindo \( (a-{8 \over b})x^4 \) por \(bx^3\), o resultado é:

\(\Longrightarrow 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1 \, \,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,| \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)
        \(\underline {-(2x^5 +{8 \over b}x^4+{2 \over b} x^2) }\)                                      \({2 \over b}x^2 + \color{Blue} {( {a \over b} - {8 \over b^2 })x }\)
         \( (a-{8 \over b})x^4 + 4x^3 + (9-{2 \over b})x^2 + 3x+1\)     

Multiplicando o termo azul por \(q(x) = bx^3 + 4x^2 + 1\), o resultado é:

\(\Longrightarrow 2x^5 + ax^4 + 4x^3 + 9x^2 + 3x + 1 \, \,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,| \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)
         \(\underline {-(2x^5 +{8 \over b}x^4+{2 \over b} x^2) }\)                                     \({2 \over b}x^2 + ( {a \over b} - {8 \over b^2 })x \)

       \( (a-{8 \over b})x^4 + 4x^3 + (9-{2 \over b})x^2 + 3x+1\)

    \(\underline {-\Big [ (a-{8 \over b})x^4+ ( {4 a \over b} - { 32 \over b^2 })x^3 + ({a \over b} - {8 \over b^2 })x \Big ] }\)
         \(\color{Blue} { ( 4-{4a \over b} + {32 \over b^2 })x^3 + (9-{2 \over b})x^2 + (3-{a \over b} + {8 \over b^2})x+1 }\)


2. Dividindo \(( 4-{4a \over b} + {32 \over b^2 })x^3 \) por \(bx^3\), o resultado é:

\(\Longrightarrow ( 4-{4a \over b} + {32 \over b^2 })x^3 + (9-{2 \over b})x^2 + (3-{a \over b} + {8 \over b^2})x+1 \, \,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,| \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)
                                                                                                            \({2 \over b}x^2 + ( {a \over b} - {8 \over b^2 })x + \color{Blue} { ( {4 \over b} - {4a \over b^2} +{32 \over b^3})}\)

Multiplicando o termo azul por \(q(x) = bx^3 + 4x^2 + 1\), o resultado é:

\(\Longrightarrow ( 4-{4a \over b} + {32 \over b^2 })x^3 + (9-{2 \over b})x^2 + (3-{a \over b} + {8 \over b^2})x+1 \, \,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,| \,\underline { bx^3 + 4x^2 + 1 }\)
       \(\color{Blue} {-\Big [ \underline { ( 4-{4a \over b} + {32 \over b^2 })x^3 + ({16 \over b} -{16 a \over b^2} + {128 \over b^3} )x^2 + {4 \over b} - {4a \over b^2} + {32 \over b^3 } \Big ] } }\)             \({2 \over b}x^2 + ( {a \over b} - {8 \over b^2 })x + ( {4 \over b} - {4a \over b^2} +{32 \over b^3})\)

           \(\color{Blue} { (9-{18 \over b} +{16 a \over b^2} - {128 \over b^3} )x^2 + (3 - {a \over b}+{8 \over b^2})x +1 - {4 \over b} + {4a \over b^2} - {32 \over b^3 } }\)


Portanto, o quociente \(H(x)\) e o resto \(R(x)\) obtidos são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} H(x) = {2 \over b}x^2 + ( {a \over b} - {8 \over b^2 })x + ( {4 \over b} - {4a \over b^2} +{32 \over b^3})\\ R(x) = (9-{18 \over b} +{16 a \over b^2} - {128 \over b^3} )x^2 + (3 - {a \over b}+{8 \over b^2})x +1 - {4 \over b} + {4a \over b^2} - {32 \over b^3 } \end{matrix} \right.\)


Pelo enunciado, tem-se \(H(x) = x^2 + 2\) e \(R(x) = 3x+c\). Portanto, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 + 2 = {2 \over b}x^2 + ( {a \over b} - {8 \over b^2 })x + ( {4 \over b} - {4a \over b^2} +{32 \over b^3})\\ 3x+c = (9-{18 \over b} +{16 a \over b^2} - {128 \over b^3} )x^2 + (3 - {a \over b}+{8 \over b^2})x +1 - {4 \over b} + {4a \over b^2} - {32 \over b^3 } \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {2 \over b} = 1 & (I) \\ {a \over b} - {8 \over b^2 } = 0 & (II) \\ {4 \over b} - {4 a \over b^2} + {32 \over b^3} = 2 & (III)\\ 9 - {18 \over b} + {16 a \over b^2} - {128 \over b^3} = 0 & (IV) \\ 3 - {a \over b} + {8 \over b^2} = 3 & (V) \\ c = 1-{4 \over b} + {4a \over b^2} - {32 \over b^3} &(VI) \end{matrix} \right.\)


Pela equação \((I)\), tem-se \(\underline { b = 2 }\). Portanto, pela equação \((II)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow {a \over b} - {8 \over b^2 } = 0\)

\(\Longrightarrow {a \over 2} - {8 \over 2^2 } = 0\)

\(\Longrightarrow {a \over 2} = {8 \over 4 } \)

\(\Longrightarrow \underline { a=4}\)


Substituindo os valores de \(a\) e \(b\) nas equações de \((III)\) a \((VI)\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {4 \over 2} - {4 \cdot 4 \over 2^2} + {32 \over 2^3} = 2 & (III)\\ 9 - {18 \over 2} + {16 \cdot 4 \over 2^2} - {128 \over 2^3} = 0 & (IV) \\ 3 - {4 \over 2} + {8 \over 2^2} = 3 & (V) \\ c = 1-{4 \over 2} + {4\cdot 4 \over 2^2} - {32 \over 2^3} &(VI) \end{matrix} \right.\)       \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2 - 4 + 4 = 2 & (III)\\ 9 - 9 + 16 - 16 = 0 & (IV) \\ 3 - 2 + 2 = 3 & (V) \\ c = 1-2 + 4 - 4 &(VI) \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2 = 2 & (III) & \mathrm{(Verdadeiro)} \\ 0 = 0 & (IV) & \mathrm{(Verdadeiro)} \\ 3 = 3 & (V) & \mathrm{(Verdadeiro)} \\ \underline { c = -1} &(VI) \end{matrix} \right.\)


Conhecendo o valor \(c=-1\), o valor de \({1 \over 5}(a+b+c)\) é:

\(\Longrightarrow {1 \over 5}(a+b+c) = {1 \over 5}(4+2-1)\)

\(\Longrightarrow {1 \over 5}(a+b+c) = {1 \over 5}(5)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {1 \over 5}(a+b+c) = 1 $}\)

Resposta correta: letra d).

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