Tendo em vista a definição de Espaço Vetorial e os seus 8 axiomas, verifique que conjunto das matrizes quadradas de ordem 3,M3(R), é um espaçovetorial

nao

\(u = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\)

\(v = \begin{bmatrix} a' & b' & c' \\ d' & e' & f' \\ g' & h' & i' \end{bmatrix}\)

\(w = \begin{bmatrix} a'' & b'' & c'' \\ d'' & e'' & f'' \\ g'' & h'' & i'' \end{bmatrix}\)

Considere todas incógnitas como números reais.

Para verificar, basta fazer:

i) \(u+v = v+u\)

ii) \((u+v)+w = u+(v+w)\)

iii) \(u + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = u\)

iv) \(u + (-u) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

v) \(I \cdot u = u = u \cdot I\), onde \(I = \ Identidade_{3 \times 3}\)

vi) \(\alpha (\beta u) = (\alpha \beta) u\), onde as constantes são reais

vii) \(\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v\)

viii) \((\alpha+\beta)u = \alpha u + \beta v\)

O maior trabalho é ficar escrevendo sempre esse monte de matrizes nas somas pra provar, mas todas propriedades são facilmente demonstráveis a partir das propriedades de matrizes gerais.