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OSCILAÇÕES, PENDULOS

7. Uma partícula puntiforme está atada a um pêndulo simples de comprimento 2 m. O pêndulo oscila com uma amplitude de 2o. Expresse, em função do tempo, (a) o seu deslocamento angular, (b) a sua velocidade angular, (c) a sua aceleração angular, (d) sua velocidade linear, (e) sua aceleração centrípeta e (f) a tensão na corda. Considere que a massa da partícula puntiforme é de 1 kg. Faça os cálculos acima para duas situações: situação (i) o pêndulo está na Terra; situação (ii) o pêndulo está em Marte.
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RD Resoluções

Temos os seguintes dados do enunciado:

\(l=2\ m\\ \theta_0=2^o={\pi\over90}\ rad\\ m=1\ kg\\ g_T=9,81\ m/s^2\\ g_M=3,71\ m/s^2\)

(a) Para o deslocamento angular, temos:

\(\theta=\theta_0cos\left(\sqrt{{g\over l}}t\right)-\theta_0\Rightarrow\boxed{\theta_T(t)={\pi\over90}cos\left(2,21t\right)-{\pi\over90}\\\theta_M(t)={\pi\over90}cos\left(1,36t\right)-{\pi\over90}}\)

(b) Para a velocidade angular, basta derivar o deslocamento angular:

\(\boxed{\omega_T(t)=-0,025\pi sen\left(2,21t\right)\\\omega_M(t)=-0,015\pi sen\left(1,36t\right)}\)

(c) Para a aceleração angular, basta derivar a velocidade angular:

\(\boxed{\alpha_T(t)=-0,054\pi sen\left(2,21t\right)\\\alpha_M(t)=-0,021\pi cos\left(1,36t\right)}\)

(d) Para a velocidade linear, temos:

\(\boxed{v_T(t)=l\theta_T(t)={\pi\over45}cos\left(2,21t\right)-{\pi\over45}\\v_M(t)=l\theta_M(t)={\pi\over45}cos\left(1,36t\right)-{\pi\over45}}\)

(e) Para a aceleração centrípeta, temos:

\(a_{cp}(t)=\omega(t)^2l\Rightarrow​​\boxed{a_{cp,T}(t)=12,5\cdot10^{-4}\pi^2 sen^2\left(2,21t\right)\\a_{cp,M}(t)=4,5\cdot10^{-4}\pi^2 sen^2\left(1,36t\right)}\)

(f) Na direção radial, temos:

\(T-mgcos\theta = ma_{cp}\Rightarrow T=m\left(a_{cp}+gcos\theta\right)\)

Para cada um dos planetas, temos:

\(T_T(t)=m\left[a_{cp,T}(t)+g_T\ cos\ \theta_T(t)\right]\Rightarrow\boxed{T_T(t)=\left\lbrace12,5\cdot10^{-4}\pi^2 sen^2\left(2,21t\right)+9,81\ cos\ \left[{\pi\over90}cos\left(2,21t\right)-{\pi\over90}\right]\right\rbrace}\\ T_M(t)=m\left[a_{cp,M}(t)+g_M\ cos\ \theta_M(t)\right]\Rightarrow\boxed{T_M(t)=\left\lbrace4,5\cdot10^{-4}\pi^2 sen^2\left(1,36t\right)+3,71\ cos\ \left[{\pi\over90}cos\left(1,36t\right)-{\pi\over90}\right]\right\rbrace}\)

 

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