Considere um objeto sujeito a uma força F dada por F=(y,3x). Calcule o trabalho dessa força do ponto r1(0,0) até o ponto r2(1,1) nos seguintes caminhos:
(A) y = x
(B) y = x²
(C) y = x³
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O trabalho realizado por uma força pode ser dado pela integral dessa força. No caso como são duas variáveis, usaremos uma integral dupla cujos limites são\( x=[0,1] \)e \(y=[0,1]\)
(A) \(y=x\)
mas \(y=3x\) e \(x=y\) ( da função fornecida \(F(y,3x)\)
\(y-x=0 \\ 3x-y=0\)
integrando dos dois lado e sabendo que a integral de zero é zero, obtemos:
\(\int_0^1\int_0^13x-ydxdy\)
integrando em relação a \(x\) e depois em relação a \(y\):
\(\int_0^13x-ydx=\frac{3x^2}{2}-yx=(\frac{3.1^2}{2}-y.1)-(\frac{3.0^2}{2}-y.0)\)
\(\int_0^13x-ydx=(\frac{3}{2}-y)\)
integrando em relação a \(y\):
\(\int_0^1(\frac{3}{2}-y)dy=\frac{3y}{2}-\frac{y^2}{2}=\frac{3.1}{2}-\frac{1^2}{2}\)
\(\int_0^1(\frac{3}{2}-y)dy=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\)
Portanto, o trabalho nesse caminho é \(\boxed{1}\)
(B) Repetindo o procedimento do item anterior:
\(y=x²\\ 3x-y²=0\)
\(\int_0^1\int_0^13x-y^2dxdy\)
\(\int_0^13x-y^2dx=\frac{3x^2}{2}-y^2x=(\frac{3.1^2}{2}-y^2.1)-(\frac{3.0^2}{2}-y^2.0)\)
\(\int_0^13x-y^2dx=(\frac{3}{2}-y^2)\)
\(\int_0^1(\frac{3}{2}-y^2)dy=\frac{3y}{2}-\frac{y^3}{3}=\frac{3.1}{2}-\frac{1^3}{3}\)
\(\int_0^1(\frac{3}{2}-y^2)dy=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}\)
Portanto, o trabalho nesse caminho é \(\boxed{\frac{7}6}\)
(B) Repetindo o procedimento do item anterior:
\(y=x³\\ 3x-y³=0\)
\(\int_0^1\int_0^13x-y^3dxdy\)
\(\int_0^13x-y^3dx=\frac{3x^2}{2}-y^3x=(\frac{3.1^2}{2}-y^3.1)-(\frac{3.0^2}{2}-y^3.0)\)
\(\int_0^13x-y^3dx=(\frac{3}{2}-y^3)\)
\(\int_0^1(\frac{3}{2}-y^3)dy=\frac{3y}{2}-\frac{y^4}{4}=\frac{3.1}{2}-\frac{1^4}{4}\)
\(\int_0^1(\frac{3}{2}-y^3)dy=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\)
Portanto, o trabalho nesse caminho é \(\boxed{\frac{5}4}\)
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