COMO ACHAR PONTOS DE INFLEXÃO??

Matheus, os pontos de inflexão desta função podem ser obtidos da seguinte forma:

Utilizando a regra para derivação de funções do tipo f(x) = g(x)/h(x) ⇒ f'(x) = [g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)]/h(x)^2, podemos chegar na seguinte derivada:

f'(x)=[(x^2-1)'*(x^3)-(x^2-1)*(x^3)']/(x^3)^2

f'(x)=[(2x)*(x^3)-(x^2-1)*(3x^2)]/x^6

f'(x)=[2x^4-3x^4+3x^2]/x^6

f'(x)=(-x^4+3x^2)/x^6=x^2*(-x^2+3)/x^6

f'(x)=(-x^2+3)/x^4

Agora basta derivarmos novamente para obtermos a derivada segunda da função:

f''(x)=[(-x^2+3)'*x^4-(-x^2+3)*(x^4)']/(x^4)^2

f''(x)=[(-2x)*x^4-(-x^2+3)*(4x^3)]/x^8

f''(x)=[-2x^5+4x^5-12x^3]/x^8

f''(x)=(2x^5-12x^3)/x^8=x^3*(2x^2-12)/x^8

f''(x)=(2x^2-12)/x^5

A derivada primeira entrega pra você onde a função possui os pontos de máximo e/ou mínimo quando a derivada é igualada a zero.

f'(x)=0 ⇒ (-x^2+3)/x^4=0 ⇒ -x^2+3=0 ⇒ x^2=3 ⇒ x=±√3

Vamos agora calcular a derivada segunda igualada a zero para podermos analisar onde a função poderia ter mudança de concavidade. (f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo, f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima, f''(x)=0 ⇒ pode ser um ponto de inflexão, que significa mudança de concavidade). Para realmente ser um ponto de inflexão além da derivada segunda dar zero no ponto precisamos ter a mudança de sinal de f''(x)<0 para f''(x)>0.

f''(x)=0 ⇒ (2x^2-12)/x^5=0 ⇒ 2x^2-12=0 ⇒ x^2=6 ⇒ x=±√6

Para sabermos se é ou não um ponto de inflexão devemos analisar o sinal antes e depois da derivada segunda ter se igualado a zero ou onde não exista a derivada segunda (domínio). Como o gráfico da derivada segunda é uma parábola dividido por uma equação x^5, podemos facilmente analisar o sinal:

                    +     ZERO      -      ZERO     +

2x^2-12 -----------(-√6)----------(√6)-----------

                            -           ZERO           +

x^5        ----------------------(0)-----------------

                 -                 +           -             +

f''(x)      ---------(-√6)-------(0)------(√6)-------

Como a função derivada segunda (f''(x)) muda de sinal a cada ponto onde se igualou a zero (-√6 e √6) e também no zero (lembrando que zero não faz parte do domínio, portanto, não poderia ser um ponto de inflexão) concluímos que os pontos de inflexão são:

-√6 e √6

Espero ter ajudado! Abraços!

Boa tarde,

Concordo com a resolução do Rodrigo. A minha resolução encontra-se no link: https://passeidireto.com/arquivo/3471808/resolucao---ponto-de-inflexao 

Bons estudos

Em cálculo diferencial, um ponto de inflexão ou simplesmente inflexão, é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura (a derivada de segunda ordem) troca o sinal. A curva muda de ter curvatura côncava para cima (positiva) para concavidade para baixo (curvatura negativa), ou vice-versa. Pode-se comparar com a condução de um veículo ao longo de uma estrada sinuosa, no ponto de inflexão no qual o volante é momentaneamente "endireitado" quando virado da esquerda para a direita ou vice-versa.