Calculo I, otimização?

Pelo enunciado do problema, podemos interpretar "comprimento" como a altura da caixa que representaremos por y e a "cintura" pelo perimetro da base quadrada de lado x, assim a "cintura" terá 4x. Deste modo temos que o valor máximo de 4x+y=250, esse será o caso em que a caixa terá as maiores dimensões, portanto maior volume.

O volume de um caixa é dada por \(V=x^2\cdot y\), e como \(y=250-4x\), teremos:

\(V=250x^2-4x^3\)

Para maximizar essa função vamos derivá-la e igualar a zero para encontrar um ponto critico, desta forma:

\(\frac{dV}{dx}=\frac{d}{dx}(250x^2-4x^3)\)

\(\frac{dV}{dx}=500x-12x^2\)

\(500x-12x^2=0\)

Resolvendo a equação encontramos \(x_1=0\) e \(x_2=\frac{125}{3}\), a solução nula não satisfaz, porque neste caso não haveria caixa (o lado da base é x, se x é zero não existe quadrado, logo não tem caixa).

Assim com \(x=\frac{125}{3}\) , temos uma caixa com volume máximo de \(V_{máx}=144675,93 \ u.v\)

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