A figura abaixo é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos c

Primeiro vamos desvendar todos os lados dos triângulos:

O primeiro triângulo, cujos catetos são 1 e 1 e o ângulo é α. usando o teorema de pitágoras temos: 1²+1²=√2 como hipotenusa

No outro, cujos catetos são 1 e √2 (que acabamos de descobrir) e o ângulo é β, usando novamente o teorema de pitágoras temos: 1²+(√2)²= 3 como hipotenusa (porque (√2)² é 2 mesmo).

No terceiro, cujos catetos são 1 e 3 (que descobrimos também agora) e o ângulo é γ, usando novamente o teorema de pitágoras temos: 1²+3²=√10 como hipotenusa.

Em posse de todos os dados, vamos agora calcular os ângulos:

O ângulo α (alpha) pode usar qualquer uma das razões trigonométricas (arcoseno, arcocosseno e arcotangente, pois essas relações, ao contrário das normais Seno, Cosseno e Tangente que ao inserirmos um ângulo, elas nos dão um valor, nestas inserimos valores e ela nos dá ângulos). Como já temos dois catetos 1 (oposto ao ângulo) e 1 (adjacente ao ângulo) podemos usar a arcotangente, que é descrita pela relação Cateto Oposto dividido pelo cateto Adjacente. 1⁄1 = 1. Qual ângulo, cuja tangente da 1? 45º.

α = 45°. (Essa resposta podia ser alcançada também sem cálculo. Pois se um triângulo retângulo tem dois catetos iguais, obviamente os ângulos que não são o ângulo reto serão de 45°, pois 90°+45°+45°=180°)

Agora vamos ao β: O triângulo formado tem catetos 1 e √2 e hipotenusa 3,Temos o cateto oposto ao ângulo β que vale 1, e temos o cateto adjacente que vale √2, temos então como usar Arcotangente de 1/√2 que dá: 35,26°, arredondado para 35° para fins didáticos.

β = 35,26°

E agora γ pra fechar.  O triângulo formado tem catetos 1 e 3 e √10 como hipotenusa. Vamos de Arcotangente de novo? arcotg de 1/3 (cateto oposto sobre cateto adjacente) dá 18,43°.

γ = 18,43°.

Somando α+β+γ= 98,69°, um pouco mais de 90°, bem condizente com a figura!

Resposta final:

α = 45°

β = 35,26°

γ = 18,43°

Espero ter ajudado!

No segundo triângulo, a hipotenusa é \({\sqrt{3}}\) e não apenas 3 como está na resolução anterior. Com isso, o terceiro triângulo terá catetos valendo 1 e \({\sqrt{3}}\).

Então teremos, tangente \(\gamma\) =\(1\over\sqrt3 \)=\( \sqrt3 \over3\), \(\gamma = 30°\)