Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1)

A derivada direcional de uma função \(f\) na direção do vetor unitário \(\vec{u}\) é dada por:

\(D_{\vec{u}}(f)=\vec{u}\cdot\nabla f\)

Primeiro vamos calcular o gradiente da função:

\(\begin{align} \nabla f&=\left({\partial f\over\partial x},{\partial f\over\partial y}\right)\\ &=\left(2x,2y\right)\\ \end{align}\)

Substituindo na expressão da derivada direcional, temos:

\(\begin{align} D_{\vec{u}}(f)&=\left(0,-1\right)\cdot\left(2x,2y\right)\\ &=0\cdot2x+(-1)\cdot2y\\ &=-2y \end{align}\)

Substituindo o ponto dado no exercício, temos:

\(D_{\vec{u}}(f(1,1))=-2\cdot1\Rightarrow\boxed{D_{\vec{u}}(f(1,1))=-2}\)

xy-7