Para resolver essa equação diferencial, vamos usar separação de variáveis, isto é, cada variável de um lado da igualdade:

\({dy\over dx} + 4y = 32\Rightarrow {dy\over 32-4y}=dx\)

Integrando ambos os lados, temos:

\(\int {dy\over 32-4y}=\int dx\)

Fazendo \(u=32-4y\Rightarrow du=-4dy\), temos:

\(\begin{align} -{1\over4}\int {du\over u}&=\int dx\\ \ln u&=-4(x+C)\\ \ln (32-4y)&=-4(x+C)\\ 32-4y&=e^{-4(x+C)}\\ 4y&=32-e^{-4C}e^{-4x}\\ y&=8-\left({e^{-4C}\over4}\right)e^{-4x}\\ y&=8+Ae^{-4x} \end{align}\)

Logo a solução procurada é:

\(\boxed{y(x)=w(x)=8+Ae^{-4x}}\)