Ao determinarmos a equação da reta normal à curva y = x3 - 4 no ponto x = 1, obtemos:

Para determinarmos uma equação de reta, temos que determinar dois parâmetros. Para facilitar esse problema, vamos usar a equação fundamental da reta, isto é:

\(y-y_0=m\left(x-x_0\right)\)

onde \(\left(x_0,y_0\right)\) é um ponto pertencente à reta e \(m\) é o coeficiente angular da reta. Vamos começar por determinar um ponto da reta. Sabemos pelo enunciado que a reta procurada passa pelo ponto \(\left(1,y(1)\right)=\left(1,1^3-4\right)=\left(1,-3\right)\). Temos então, até o momento:

\(\begin{align} y-(-3)&=m\left(x-1\right)\\ y &= m\left(x-1\right)-3 \end{align}\)

Temos agora que determinar o coeficiente angular. Para isso, sabemos que a reta é normal à curva. Primeiro vamos determinar o coeficiente angular da reta tangente no mesmo ponto através da derivada da curva:

\(\begin{align} M&=\left.{dy\over dx}\right\vert_{x=1}\\ &=\left.{d\over dx}(x^3-4)\right\vert_{x=1}\\ &=\left.3x^2\right\vert_{x=1}\\ &=3 \end{align}\)

Sabemos que a reta que procuramos é perpendicular à reta desse coeficiente angular. Deve-se lembrar agora, que se duas retas são perpendiculares entre sim, seus coeficientes angulares obedecem à seguinte relação:

\(mM=-1\)

Temos \(M\) e precisamos determinar \(m\):

\(m=-{1\over M}=-{1\over 3}\)

Substituindo na equação para a reta que temos até o momento, ficamos com:

\(\begin{align} y &= m\left(x-1\right)-3\\ &= -{1\over 3}\left(x-1\right)-3\\ &= -{x-1\over 3}-{9\over3}\\ &= {-x-8\over 3} \end{align}\)

Portanto a alternativa correta é a D.