Transformação Linear

letra b

a)

\(T(u+u', w + 'w) = u + u'+ w + w' = (u+w) + (u'+w') = T(u,w) + T(u',w') \\ T(\alpha u, \alpha w) = \alpha u + \alpha w = \alpha(u+w) = \alpha T(u,w), \forall \alpha \in \mathbb{R}\)

Logo, T é transformação linear.

b)

A soma direta \(U \bigoplus W = \{u+w: u \in U, w \in W \}\) é notoriamente subespaço de \(V\). Logo, basta checar:

\(Im(T) \subseteq V \\ \forall u,v,u',v', (u+v+u'+w') \in V \\ \forall u,v, \ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \alpha(u+v) \in V\)

Logo, a imagem de T é um subespaço de U + W.