Em uma prova, um estudante deve escolher 7 de um total de 10 questões

a)

Escolher 4 das 5 primeiras implica em escolher 3 das 5 últimas

C 5,4 + C5,3 = (5! / 4! . (5-4)!) * (5! / 3! . (5-3)!) = 5 * 10 = 50

b)

Escolher a questão 1 e não poder escolher a questão 10 => C 9,7 = 36

Escolher a questão 10 e não poder escolher a questão 1 => C 9,7 = 36

Não escolhendo nenhuma das duas 1 ou 10, sobram 8 => C 8,7 = 8

Total de opções = 36 + 36 + 8 = 80

a) Calculando as formas de escolhermos 4 das 5 primeiras questões, teremos:

\(\begin{align} & {{C}_{(n,p)}}=\frac{n!}{p!(n-p)!} \\ & \\ & {{C}_{(n,p)}}=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{C}_{(n,p)}}=5\cdot 10+1\cdot 10 \\ & {{C}_{(n,p)}}=50+10 \\ & {{C}_{(n,p)}}=60possibilidades \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{C\left( {n,p} \right) = 60{\text{ possibilidades}}}\)

b)

\(\begin{align} & {{C}_{(n,p)}}=\frac{n!}{p!(n-p)!} \\ & \\ & {{C}_{(n,p)}}=\left( \begin{matrix} 10 \\ 7 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{C}_{(n,p)}}=\frac{10!}{5!\cdot 5!} \\ & {{C}_{(n,p)}}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 5!} \\ & {{C}_{(n,p)}}=\frac{30240}{120} \\ & {{C}_{(n,p)}}=252 \\ & {{C}_{(n,p)}}=\frac{252}{2} \\ & {{C}_{(n,p)}}=126possibilidades \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{C\left( {n,p} \right) = 126{\text{ possibilidades}}}\)