1. Uma PA (Progressão Aritmética) consiste numa sequência em que o elemento posterior é igual ao termo anterior mais uma razão \(r\). Ou seja, numa sequência de \(n\) termos \(S_{PA} = a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{n-1} + a_{n}\), o valor da soma \(S_{PA}\) é:
\(\Longrightarrow S_{PA} = a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{n-1} + a_{n}\) \((I)\)
\(\Longrightarrow S_{PA} = a_1 + (r + a_1) + (2r + a_1) + .... + \Big ((n-2)r +a_1 \Big ) + \Big ((n-1 )\cdot r + a_1\Big )\)
A soma \(a_1 + a_n\) é igual a:
\(\Longrightarrow a_1 + a_n = a_1 + \Big ( (n-1) \cdot r + a_1 \Big )\)
\(\Longrightarrow a_1 + a_n = 2a_1 + (n-1) \cdot r \) \((II)\)
E a soma \(a_2 + a_{n-1}\) é:
\(\Longrightarrow a_2 + a_{n-1} = (r+a_1) + \Big ( (n-2) \cdot r + a_1 \Big )\)
\(\Longrightarrow a_2 + a_{n-1} = 2a_1 + (n-1) \cdot r \) \((III)\)
Como as equações \((II)\) e \((III)\) apresentaram o mesmo resultado, pode-se usar a mesma lógica para toda a sequência, ou seja, somar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o antepenúltimo e assim por diante. Supondo que \(n\) seja par, pode-se fazer \({n \over 2}\) somas.
Portanto, pela equação \((I)\), o valor de \(S_{PA}\) é:
\(\Longrightarrow S_{PA} = a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{n-1} + a_{n}\)
\(\Longrightarrow S_{PA} = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1} ) + (a_3 + a_{n-2}) + ....\)
\(\Longrightarrow S_{PA} = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_{n} ) + (a_1 + a_{n}) + ....\)
\(\Longrightarrow \fbox {$ S_{PA} = (a_1 + a_n) \cdot {n \over 2} $}\)
Ou seja, a soma de uma PA depende do primeiro termo \(a_1\), do último termo \(a_n\) e da quantidade \(n\) de termos.
2. Uma PG (Progressão Geomética) consiste numa sequência em que o elemento posterior é igual ao termo anterior vezes uma razão \(q\). Ou seja, numa sequência de \(n\) termos \(S_{PG} = a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{n-1} + a_{n}\), o valor da soma \(S_{PG}\) é:
\(\Longrightarrow S_{PG} = a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{n-1} + a_{n}\)
\(\Longrightarrow S_{PG} = a_1 + a_1q + a_1q^2 + .... + a_1 q^{n-2} + a_1 q^{n-1}\) \((IV)\)
Multiplicando a equação \((IV)\) pela razão \(q\), a equação resultante é:
\(\Longrightarrow qS_{PG} = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + .... + a_1 q^{n-1} + a_1 q^{n}\) \((V)\)
Realizando a subtração \((IV)-(V)\), a equação resultante é:
\(\Longrightarrow S_{PG} = a_1 + a_1q + a_1q^2 + .... + a_1 q^{n-2} + a_1 q^{n-1} \\ -\underline{(qS_{PG} = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + .... + a_1 q^{n-1} + a_1 q^{n}) } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, S_{PG}-qS_{PG} = a_1 - a_1 q^{n}\)
Portanto, o valor da soma \(S_{PG}\) é:
\(\Longrightarrow S_{PG}-qS_{PG} = a_1 - a_1 q^{n}\)
\(\Longrightarrow S_{PG}(1-q) = a_1(1 -q^{n})\)
\(\Longrightarrow \fbox {$ S_{PG} = a_1 \cdot {1 -q^{n} \over 1-q} $}\)
Ou seja, a soma de uma PG depende do primeiro termo \(a_1\), da razão \(q\) e da quantidade \(n\) de termos.
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