Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento

Resposte 28/9

Para começar, temos que parametrizar a curva. Tomando \(y=sen\ t\), temos:

\(x^2+4sen^2t=4\Rightarrow x=\sqrt{4(1-sen^2t)}=2cos\ t\)

Temos então a curva parametrizada:

\(\gamma (t)=(2cos\ t,sen\ t)\)

Precisamos determinar agora o intervalo de \(t\) que descreve o trajeto entre os pontos pedidos pelo menor caminho:

\((x_1,y_1)=(2cos\ t_1,sen\ t_1)=(2,0)\Rightarrow t_1=2k\pi\\ (x_2,y_2)=(2cos\ t_2,sen\ t_2)=(0,1)\Rightarrow t_2={\pi\over2}+2k\pi\)

Calculando as diferenças de duas posições consecutivas, percebemos que o menor caminho ocorre para \(t_1<t<t_2\). Tomando \(k=0\), temos:

\(\gamma (t)=(2cos\ t,sen\ t)\\ 0<t<{\pi\over2}\)

Vamos então ao cálculo da integral propriamente dita:

\(\begin{align} L&=\int\limits_{\gamma}f(x,y)\ ds\\ &=\int_0^{\pi\over2}f\left(\gamma(t)\right)\left\vert\left\vert\gamma'(t)\right\vert\right\vert\ dt\\ &=\int_0^{\pi\over2}f\left(2cos\ t,sen\ t\right)\left\vert\left\vert(-2sen\ t,cos\ t)\right\vert\right\vert\ dt\\ &=\int_0^{\pi\over2}2\cdot2cos\ t\cdot sen\ t\sqrt{4sen^2\ t+cos^2\ t}\ dt \end{align}\)

Vamos relembrar das identidades trigonométricas do arco duplo:

\(sen\ 2t=2sen\ t\cdot cos\ t\\ cos\ 2t=cos^2t-sen^2t\)

Combinando a segunda relação com a relação fundamental da trigonometria, obtemos:

\(cos^2t={1+cos\ 2t\over2}\\ sen^2t={1-cos\ 2t\over2}\)

Substituindo na integral, temos:

\(\begin{align} L&=\int_0^{\pi\over2}2sen\ 2t\sqrt{4\left({1-cos\ 2t\over2}\right)+\left({1+cos\ 2t\over2}\right)}\ dt\\ &=\int_0^{\pi\over2}2sen\ 2t\sqrt{{5\over2}-{3cos\ 2t\over2}}\ dt\\ \end{align}\)

Fazendo \(u={5\over2}-{3cos\ 2t\over2}\Rightarrow du=3sen\ 2t\ dt\), temos:

\(\begin{align} L&={2\over3}\int_1^4\sqrt{u}\ du\\ &={2\over3}\int_1^4u^{1/2}\ du\\ &={4\over9}\left[u^{3/2}\right]_1^4\\ &={4\over9}\left[4^{3/2}-1^{3/2}\right]\\ \end{align}\)

Temos, finalmente, o resultado da integral:

\(\boxed{L={28\over9}}\)