Para fazer uma integração por partes, devemos substituir os termos de uma função, pela notação de \(du \) e \(v\) .

Como exemplo vamos considerar o exercício abaixo, onde temos que utilizar a integração por partes para resolver integral da função. e. Esse cálculo é feito da seguinte maneira:

\(\begin{align}&&\int_{}^{} {{{\cos }^2}x} dx&= \int_{}^{} {1 - se{n^2}x} dx\\&&\int_{}^{} {{{\cos }^2}x} dx &= \int_{}^{} {udv} = uv - \int_{}^{} {vdu} \end{align}\)

Fazendo \({u = senx{\text, }dv = senx}\) temos:

\(\begin{align}&&du& = \cos x\\&&v &= \int_{}^{} {{\text{sen}}} x\\&&v &= - \cos x\end{align}\)

Por fim: 

\(\begin{align}&&\int_{}^{} {{{\cos }^2}x} dx &= x - \int_{}^{} {se{n^2}x} \\&&\int_{}^{} {{{\cos }^2}x} dx &= \frac{{\left( {x - senx\cos x} \right)}}{2}\end{align}\)

Portanto, a integral da função dada será \(\boxed{\int_{}^{} {{{\cos }^2}x} dx = \frac{{\left( {x - senx\cos x} \right)}}{2}}\).