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Gente alguém sabe como resolver essa integral:

X²/(3√x²+4 )


8 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos calcular a seguinte integral:

$$I=\int \dfrac{x^2}{3\sqrt{x^2+4}}dx$$


Para começar, lembremos da relação fundamental da trigonometria:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta =1\Rightarrow \tan^2\theta +1=\sec^2\theta$$

Tomemos, então $x=2\tan\theta\Rightarrow dx=2\sec^2\theta d\theta$:

$$I=\int \dfrac{4\tan^2\theta}{3\sqrt{4\tan^2\theta+4}}2\sec^2\theta d\theta =\int \dfrac{4\tan^2\theta}{3\sqrt{\sec^2\theta}}\sec^2\theta d\theta= \dfrac{4}{3}\int \sec\theta\tan^2\theta d\theta$$

Vamos então usar novamente a relação fundamental da trigonometria:

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec\theta(\sec^2\theta-1) d\theta =\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\int \sec\theta d\theta$$


Para a segunda integral, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $\sec\theta+\tan\theta$:

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\int \dfrac{\sec^2\theta+\tan\theta\sec\theta}{\sec\theta+\tan\theta} d\theta$$


Fazendo para a segunda integral $u=\sec\theta+\tan\theta \Rightarrow du=\sec^2\theta+\tan\theta\sec\theta d\theta$, ficamos com:

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\int \dfrac{1}{u} du =\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\ln u$$

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\ln(\sec\theta+\tan\theta)$$

Vamos integrar a primeira por partes, fazendo:

$$u=\sec\theta\Rightarrow du=\sec\theta\tan\theta d\theta$$

$$dv = \sec^2\theta d\theta\Rightarrow v=\tan\theta$$

Temos:

$$\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta-\int\tan^2\theta\sec\theta d\theta$$

$$\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta-\int\sec\theta(\sec^2\theta-1) d\theta$$

$$\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta-\int\sec^3\theta d\theta+\int\sec\theta d\theta$$

$$2\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta+\int\sec\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta+\ln(\sec\theta+\tan\theta)$$

$$\int \sec^3\theta d\theta = \dfrac12\sec\theta\tan\theta+\dfrac12\ln(\sec\theta+\tan\theta)$$

Substituindo nas contas, temos:

$$\boxed{\int \dfrac{x^2}{3\sqrt{x^2+4}}dx=\dfrac23\sec\theta\tan\theta-\dfrac23\ln(\sec\theta+\tan\theta)}$$

Nesse exercício vamos calcular a seguinte integral:

$$I=\int \dfrac{x^2}{3\sqrt{x^2+4}}dx$$


Para começar, lembremos da relação fundamental da trigonometria:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta =1\Rightarrow \tan^2\theta +1=\sec^2\theta$$

Tomemos, então $x=2\tan\theta\Rightarrow dx=2\sec^2\theta d\theta$:

$$I=\int \dfrac{4\tan^2\theta}{3\sqrt{4\tan^2\theta+4}}2\sec^2\theta d\theta =\int \dfrac{4\tan^2\theta}{3\sqrt{\sec^2\theta}}\sec^2\theta d\theta= \dfrac{4}{3}\int \sec\theta\tan^2\theta d\theta$$

Vamos então usar novamente a relação fundamental da trigonometria:

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec\theta(\sec^2\theta-1) d\theta =\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\int \sec\theta d\theta$$


Para a segunda integral, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $\sec\theta+\tan\theta$:

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\int \dfrac{\sec^2\theta+\tan\theta\sec\theta}{\sec\theta+\tan\theta} d\theta$$


Fazendo para a segunda integral $u=\sec\theta+\tan\theta \Rightarrow du=\sec^2\theta+\tan\theta\sec\theta d\theta$, ficamos com:

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\int \dfrac{1}{u} du =\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\ln u$$

$$I=\dfrac{4}{3}\int \sec^3\theta d\theta -\dfrac{4}{3}\ln(\sec\theta+\tan\theta)$$

Vamos integrar a primeira por partes, fazendo:

$$u=\sec\theta\Rightarrow du=\sec\theta\tan\theta d\theta$$

$$dv = \sec^2\theta d\theta\Rightarrow v=\tan\theta$$

Temos:

$$\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta-\int\tan^2\theta\sec\theta d\theta$$

$$\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta-\int\sec\theta(\sec^2\theta-1) d\theta$$

$$\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta-\int\sec^3\theta d\theta+\int\sec\theta d\theta$$

$$2\int \sec^3\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta+\int\sec\theta d\theta = \sec\theta\tan\theta+\ln(\sec\theta+\tan\theta)$$

$$\int \sec^3\theta d\theta = \dfrac12\sec\theta\tan\theta+\dfrac12\ln(\sec\theta+\tan\theta)$$

Substituindo nas contas, temos:

$$\boxed{\int \dfrac{x^2}{3\sqrt{x^2+4}}dx=\dfrac23\sec\theta\tan\theta-\dfrac23\ln(\sec\theta+\tan\theta)}$$

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Luiz Francisco Batista Sampaio

Há mais de um mês

Boa noite,

Só confirmando é 3√(x²+4) ou 3(√x²)+4 ?

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Luiz Francisco Batista Sampaio

Há mais de um mês

Olá,

Rapaz resolvi desta forma: https://passeidireto.com/arquivo/3539872/resolucao---integral 

Confere os cálculos fazendo favor ... e confirme o resultado! Bons estudos!

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Gledson Henrique A. de Oliveira

Há mais de um mês

gostei de seu raciocíniom e gostaria como vc faz para enviar esses arquivos Luiz Francisco B.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas