Dependencia e independencia linear

Débora, boa tarde!

Vetores são ditos linearmente independentes quando a solução para o sistema

λ1v1+λ2v2+λ3v3+…+λnvn=0 para λ1, λ2, λ3, …, λn admite somente a solução trivial λ1=λ2=λ3=…=λn=0(zero)

Vejamos o conjunto A:

λ1(1,-1,3)+λ2(2,1,0)=0

λ1(1,-1,3)=-λ2(2,1,0)

(1,-1,3)=(-λ2/λ1)(2,1,0)

Fazendo (-λ2/λ1)=λ, vamos verificar se existe um λ que possa satisfazer a esta equação

(1,-1,3)=λ(2,1,0)

1=2λ → λ = 1/2

-1=1λ → λ = -1

3=0λ → não existe solução para λ

Então, como não há uma solução não-trivial, podemos afirmar que a única solução para o conjunto A em λ1(1,-1,3)+λ2(2,1,0)=0 será λ1=λ2=0, então, são Linearmente Independentes.

Vejamos agora o conjunto B:

λ1(-1,0,1)+λ2(1,2,-1)+λ3(0,2,0)=0

Há uma forma de verificarmos se 3 vetores são LI ou LD baseado na verificação do determinante da matriz formada pelos vetores. Se este determinante for zero o conjunto é LD, caso contrário, LI:

| -1 0  1 |

|  1 2 -1 | = (0+0+2)-(0+2+0)=0, portanto, conjunto LD

|  0 2  0 |

Espero ter podido ajudar! :)

seja V um conjunto de vetores \(v1, v2,....vn\). Considerando a equação vetorial abaixo:

\(a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0\)

Dizemos que \(v1,v2..\).são independentes quando a única solução da equação acima for \(a1=a2...= 0\)

Se possuir mais de uma solução, dizemos que são dependentes

Assim, vamos fazer para o conjunto A:

\(a1(1,-1,3)+ a2(2,1,0)=0\\ (a1,-a1,3a1)+ (2a2,a2,0)=0\\ a1+2a1=0\\ -a1+a2=0\\ 3a1+0= 0\\\)

Da última equação encontramos \(a1=0\). Substituindo nas outras encontramos que \(a2=0\)

Portanto, o conjunto de vetores A são independentes

Seguindo o mesmo raciocínio para o conjunto B:

\(a1(-1,0,1)+a2(1,2,-1)+ a3(0,20)=0\\ (-a1,0,a1)+(a2,2a2,-a2)+(0,20a3,0)=0\\ -a1+a2+0=0\\ 0+2a2+20a3=0\\ a1-a2+0=0\)

Das equações acima, vemos que elas tem mais de uma solução. Por exemplo:

Para \( a1=a2=a3=0\) .Todas são validas

Para \(a1=1, a2=1, a3=-10\), todas também são satisfeitas.

Portanto, o conjunto de vetores B são dependentes.