poderiam me ajudar para verificar se essa derivada parcial de ordem superior é harmonica?

Olá Regina,

Segue a resolução do exercício. A função dada é harmônica!

Para verificarmos se a derivada é armônica, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \int_{C}^{{}}{Fdr}=\int_{C}^{{}}{(\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}))dx+2\arctan \left( \frac{y}{x} \right)} \\ & \int_{C}^{{}}{Fdr}=\int_{{}}^{{}}{\int_{D}^{{}}{\frac{d}{dx}\left( 2\arctan \left( \frac{y}{x} \right) \right)-\frac{d}{dy}}}\left( \ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right) \\ & \int_{C}^{{}}{Fdr}=\int_{{}}^{{}}{\int_{D}^{{}}{\left[ \left( \frac{-2y{{x}^{-2}}}{1+{{(y/x)}^{2}}} \right)-\left( 1-\frac{2y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right) \right]}dA} \\ & \int_{C}^{{}}{Fdr}=\left[ -\frac{2y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{2y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right]dA \\ & \int_{C}^{{}}{Fdr}=-\int_{{}}^{{}}{\int_{D}^{{}}{dA}} \\ & \int_{C}^{{}}{Fdr}=-area(D) \\ & \int_{C}^{{}}{Fdr}=-\pi \\ \end{align}\ \)

Portanto, a derivada é harmônica.