maximos e minimos

pontinho

Para determinarmos os extremos locais de uma função, temos que derivá-la e igualá-la a zero. Para a função \(f(x)=x^3-3x^2+3x-1\), temos:

\(\begin{align} {df\over dx}=0&=3x^{3-1}-3\cdot2x^{2-1}+3x^{1-1}\\ 0&=3x^2-6x+3\\ 0&=x^2-2x+1\\ 0&=(x-1)^2 \end{align}\)

Temos então que a única raiz da equação é dada por \(x=1\), que está dentro do intervalo solicitado. Vamos agora determinar qual tipo de extremo local é esse a partir da segunda derivada nesse ponto:

\(\begin{align} \left.{d^2f\over dx^2}\right\vert_{x=1}&=\left.{d\over dx}(x^2-2x+1)\right\vert_{x=1}\\ &=\left.2x-2\right\vert_{x=1}\\ &=2\cdot1-2\\ &=0 \end{align}\)

Segunda derivada nula indica que esse é um ponto de inflexão. Temos, portanto, que não há pontos de máximo e de mínimo na função dada.