Neste exercício, será determinada a reta tangente a uma dada curva. Para isso, será utilizada a derivação implícita na equação da curva \(y^2-x^3=0\).
Derivando a equação em relação a x, a equação resultante é:
\(\Longrightarrow {d\over dx}y^2-{d\over dx}x^3={d\over dx}0\)
\(\Longrightarrow {d\over dx}y^2{dy\over dy}-3x^{(3-1)}=0\)
\(\Longrightarrow {d\over dy}y^2{dy\over dx}-3x^2=0\)
\(\Longrightarrow 2y{dy\over dx}=3x^2\)
\(\Longrightarrow {dy\over dx}={3x^2 \over 2y}\)
O termo \({dy\over dx}\) representa a inclinação da reta, ou seja, o coeficiente angular \(a\) da reta tangente à curva \(y^2-x^3=0\). Para calcular seu valor, será utilizado o dado ponto cartesiano \((x=2,y=4)\). Com isso, o valor de \({dy\over dx}\) é:
\(\Longrightarrow {dy\over dx}={3(2)^2 \over 2(4)}\)
\(\Longrightarrow {dy\over dx}={3(4) \over 2(4)}\)
\(\Longrightarrow {dy\over dx}={3\over 2}\)
\(\Longrightarrow a={3\over 2}\)
Com isso, sabe-se que a equação geral da reta é:
\(\Longrightarrow y=ax+b\)
\(\Longrightarrow y={3\over 2}x+b\)
Para calcular o valor do coeficiente linear \(b\) da equação anterior, será utilizado o dado ponto cartesiano \((x=2,y=4)\) que está contido na reta. Substituindo os valores conhecidos, seu valor é:
\(\Longrightarrow y={3\over 2}x+b\)
\(\Longrightarrow 4={3\over 2}2+b\)
\(\Longrightarrow 4=3+b\)
\(\Longrightarrow b=1\)
Finalmente, pode-se escrever a equação completa da reta tangente. A equação completa é:
\(\Longrightarrow \fbox{$y={3\over 2}x+1$}\)
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