Maximização do volume de tetraédro.

Para começar, vamos escrever a equação geral do plano:

\((x-1)+a(y-2)+b(z-1)=0\)

Substituindo \((x,y,z)=(x_0,0,0)\) na equação, temos o cruzamento do plano com o eixo x:

\(x_0 = 1+2a+b\)

Substituindo \((x,y,z)=(0,y_0,0)\) na equação, temos o cruzamento do plano com o eixo y:

\(y_0 = 2+{1+b\over a}\)

Substituindo \((x,y,z)=(0,0,z_0)\) na equação, temos o cruzamento do plano com o eixo z:

\(z_0 = 1+{1+2a\over b}\)

Para o volume do tetraedro, temos:

\(V = {1\over6}x_0y_0z_0=(1+2a+b)\left(2+{1+b\over a}\right)\left(1+{1+2a\over b}\right) = {(1+2a+b)^3\over ab}\)

Zerando o gradiente, obetmos o ponto de extremo da função:

\(\nabla V=\left({\partial V\over\partial a},{\partial V\over\partial b}\right)=\left({6ab(1+2a+b)^2-b(1+2a+b)^3\over a^2b^2},{3ab(1+2a+b)^2-a(1+2a+b)^3\over a^2b^2}\right)\)

Igulando ao vetor nulo, temos:

\(\left({6ab(1+2a+b)^2-b(1+2a+b)^3\over a^2b^2},{3ab(1+2a+b)^2-a(1+2a+b)^3\over a^2b^2}\right)=(0,0)\)

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

\(\left\{\begin{align} 6ab(1+2a+b)^2-b(1+2a+b)^3 = 0\\ 3ab(1+2a+b)^2-a(1+2a+b)^3 = 0 \end{align}\right.\)

Ou ainda:

\(\left\{\begin{align} [6a-(1+2a+b)]b(1+2a+b)^2 = 0\\ [3b-(1+2a+b)]a(1+2a+b)^2 = 0 \end{align}\right.\)

Simplificando:

\(\left\{\begin{align} -(1-4a+b)b(1+2a+b)^2 = 0\\ -(1+2a-2b)a(1+2a+b)^2 = 0 \end{align}\right.\)

Mas \(x_0 = 1+2a+b >0\), logo:

\(\left\{\begin{align} b(1-4a+b) = 0\\ a(1+2a-2b) = 0 \end{align}\right.\)

O que nos leva a 4 possíveis sistemas de equações. Lembrando que as dimensões do tetraedro devem ser positivas, assim como os parâmetros \((a,b)\), dado que o plano nao ode ser paralelo a nenhum dos eixos, vamos ao primeiro:

\(\left\{\begin{align} 1-4a+b = 0\\ 1+2a-2b = 0 \end{align}\right.\Rightarrow (a,b)=\left({1\over2},1\right)\Rightarrow (x_0,y_0,z_0)=(3,6,3)\Rightarrow V = 9\)

Para o segundo, temos:

\(\left\{\begin{align} 1-4a+b = 0\\ a = 0 \end{align}\right.\Rightarrow (a,b)=(0,-1)\times\)

Para o terceiro, temos:

\((a,b)=(0,0)\times\)

Para o quarto, temos:

\(\left\{\begin{align} b = 0\\ 1+2a-2b = 0 \end{align}\right.\Rightarrow (a,b)=\left(-{1\over2},0\right)\times\)

Temos, portanto, que \((a,b)=\left({1\over2},1\right)\). Substituindo na equação geral do plano, temos:

\((x-1)+{1\over2}(y-2)+1(z-1)=0\Rightarrow\boxed{2x+y+2z=6}\)