Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2?

A primeira coisa a se fazer quando se calcula um limite é subsituir a variável na expressão. Se houver indefinição, procuramos outra forma de prosseguir. Vamos representar a função da seguinte forma para facilitar os cálculos:

\(f(t)=\left(x(t) , y(t), z(t)\right)\\ x(t)=t\\ y(t)=cos\ t\\ z(t)={8-t^3\over4-t^2}\)

Calcular o limite da função nada mais é que calcular os limites de cada uma das componentes. Vamos começar pela primeira:

\(\begin{align} L_x&=\lim\limits_{t\rightarrow 2}x(t)\\ &=\lim\limits_{t\rightarrow 2}t\\ &=2 \end{align}\)

Vamos agora para a segunda componente:

\(\begin{align} L_y&=\lim\limits_{t\rightarrow 2}y(t)\\ &=\lim\limits_{t\rightarrow 2}cos\ t\\ &=cos\ 2 \end{align}\)

E por fim para a terceira componente:

\(\begin{align} L_z&=\lim\limits_{t\rightarrow 2}z(t)\\ &=\lim\limits_{t\rightarrow 2}{8-t^3\over4-t^2}\\ &={8-2^3\over4-2^2}\\ &={0\over0}\text{ (indeterminado)} \end{align}\)

Nesse caso temos que deservolver a expressão para simplificar:

\(\begin{align} z(t)&={8-t^3\over4-t^2}\\ &={(2-t)(4+2t+t^2)\over(2-t)(2+t)}\\ &={4+2t+t^2\over2+t} \end{align}\)

Calculando novamente o limite desse termo, temos:

\(\begin{align} L_z&=\lim\limits_{t\rightarrow 2}z(t)\\ &=\lim\limits_{t\rightarrow 2}{4+2t+t^2\over2+t}\\ &={4+2t+t^2\over2+t}\\ &={4+2\cdot2+2^2\over2+2}\\ &=3 \end{align}\)

Finalmente temos o limite:

\(\lim\limits_{t\rightarrow2}f(t)=(L_x,L_y,L_z)\Rightarrow\boxed{\lim\limits_{t\rightarrow2}f(t)=(2,cos\ 2,3)}\)