Qual a circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordenadas polares?

25

Para transformar uma expressão em coordenadas polares, precisamos usar as seguintes relações:

\(\begin{align} x=r\ cos\theta\\ y=r\ sen\theta \end{align}\)

Substituindo na equação dada, temos:

\(\begin{align} x^2+y^2&=9\\ \left(r\ cos\theta\right)^2+\left(r\ sen\theta\right)^2&=9\\ r^2cos^2\theta+r^2sen^2\theta&=9\\ r^2\left(cos^2\theta+sen^2\theta\right)&=9\\ \end{align}\)

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

\(cos^2\theta+sen^2\theta=1\)

Substituindo na equação, temos:

\(\begin{align} r^2\left(cos^2\theta+sen^2\theta\right)&=9\\ r^2&=9 \end{align}\)

Como em coordenadas polares \(r\) é não negativo, temos para a equação da circunferência em coordenadas polares:

\(\boxed{r=3}\)