Determine a equação da parábola, sabendo que: o vértice V (0,0), com simetria em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P (2, - 3).

Primeira coisa a informar, é a expressão fundamental da equação do segundo grau:

Agora a análise inicial:

Temos um ponto vértice (0,0), nos dizendo que x vale zero e y vale 0.

Segunda informação que temos é, a simetria ao eixo y. Ou seja, a parábola está igualmente dividade perante o eixo y, logo, teremos um ponto na posição exatamente oposta ao ponto P(2, -3), que equivale Q(-2, -3) (ponto definido por mim, baseado na simetria do eixo y).

A partir daí, basta fazer as substituições dos valores de cada ponto na equação fundamental.

Para P(2,-3):

Para Q(-2,-3):

Agora é só resolver o sistema de equações:

Agora é só trocar o valor de a em qualquer uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de b:

Encontrado o valor dos 3 termos (a, b e c), é só montar a equação final:

Adicionei o gráfico em anexo, que demonstra a parábola referente a função encontrada.

Primeiramente, a expressão fundamental da equação do segundo grau:




Agora a análise inicial:

Temos um ponto vértice (0,0), nos dizendo que x vale zero e y vale 0.

Xv = -b/2a 

-b/2a = 0 => Como a ≠ 0(pois se trata de uma função quadrática) 
Só nos resta afirmar que b=0. 

f(x) =ax²+bx+c, como b=0
f(x) =ax²+c 
f(2) = -3 
2²a+c =-3 
4a+c =-3 => c= -4a-3 

Yv = -∆/4a 
-∆/4a = 0 
∆=0 
b²-4ac =0 
0²-4a(-4a-3)=0 
16a²+12a = 0 
4a(4a+3)=0 
a=0 (não convém) ou 4a+3=0 => a = -3/4 

c=-4a-3 = -4(-3/4)-3 = +3-3 = 0 

Portanto, a equação da parábola é \(f(x) = -3x²/4 \)