Considere que uma tela é cortada por dois eixos x e y, ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plano, existe a imagem de uma parábola cuja equação é dada porf(x)=−x2+4x−3.
Considere T1eT2 e dois operadores lineares definidos em R2 .
De acordo com as informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando os cálculos utilizados na resolução.
a) Mostre que o ponto (2,1) pertence à parábola.
b) Abaixo é apresentada a transformação linear T1:R2→R2:
T1(x,y)=(cosθ⋅x−senθ⋅y,senθ⋅x+cosθ⋅y)
Onde, a todo vetor no plano, a transformação linear T1 aplica uma rotação de ângulo θ no vetor, mantendo a sua norma (comprimento).
Dado um ângulo θ=1500, determine o sentido de rotação da transformação linear T1 e a posição das raízes e do vértice da parábola, após a aplicação da transformação linear T1.
c) Agora, suponha que, a cada ponto da tela, seja aplicado o operador linearT2:R2→R2:
T2(x,y)=(x+y,−2x+4y)
Determine quais serão as coordenadas das raízes e do vértice da parábola, após a aplicação da transformação linear T2.
d) Calcule os autovalores do operado linear T2(x,y)=(x+y,−2x+4y).
e) Calcule os autovetores do operado linear T2(x,y)=(x+y,−2x+4y).
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a)
\(\[\begin{align}
& f(x)=-{{x}^{2}}+4x-3 \\
& f(2)=-{{2}^{2}}+4\cdot 2-3 \\
& f\left( 2 \right)=-4+8-3 \\
& f\left( 2 \right)=1 \\
\end{align}\]
\)
Portanto, prova-se que (2,1) pertence à parábola.
b)
\(\[\begin{align}
& {{T}_{2}}\left( x,y \right)=\left( x+y,-2x+4y \right) \\
& {{T}_{2}}(x,y)=\lambda \cdot (x,y) \\
& (x,y)\ne (0,0): \\
& (x+y,-2x+4y)=(\lambda \cdot x,\lambda \cdot y) \\
& \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=\lambda \cdot x \\
-2x+4y=\lambda \cdot y \\
\end{array} \right. \\
& \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(1-\lambda )x+y=0 \\
-2x+(4-\lambda )y=0 \\
\end{array} \right. \\
& \text{det}\left[ \begin{matrix}
(1-\lambda ) & 1 \\
-2 & (4-\lambda ) \\
\end{matrix} \right]=0 \\
& (1-\lambda )(4-\lambda )-1\cdot (-2)=0(1-\lambda )(4-\lambda )+2=0{{\lambda }^{2}}-5\lambda +6=0 \\
& \text{As soluc }\!\!\tilde{\mathrm{o}}\!\!\text{ es para a equac }\!\!\tilde{\mathrm{a}}\!\!\text{ o s }\!\!\tilde{\mathrm{a}}\!\!\text{ o:} \\
& \lambda =\frac{1}{2}\left( 5\pm \sqrt{{{(-5)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 6} \right) \\
& \lambda =\frac{1}{2}\left( 5\pm 1 \right) \\
& {{\lambda }_{1}}=\frac{1}{2}(5+1)=3{{\lambda }_{2}}=\frac{1}{2}(5-1)=2 \\
& \\
& \\
\end{align}\]
\)
c)
\(\[\begin{align} & T\_2\left( x,y \right)=\left( x+y,-2x+4y \right) \\ & voltamos\text{ }\grave{a}\text{ }equa\tilde{a}o\text{ }de\text{ }autovetores: \\ & {{T}_{2}}(x,y)=\lambda \cdot (x,y) \\ & para\text{ }o\text{ }autovalor\text{ }\lambda \text{ }=\text{ }3: \\ & {{T}_{2}}(x,y)=\lambda \cdot (x,y)(x+y,-2x+4y) \\ & 3\cdot (x,y) \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=3x \\ -2x+4y=3y \\ \end{array} \right.e\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=2x \\ y=2x \\ \end{array} \right. \\ & {{v}_{1}}=(1,2),\text{para}\lambda =3 \\ & {{T}_{2}}(x,y)=\lambda \cdot (x,y)(x+y,-2x+4y)=2\cdot (x,y) \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=2x \\ -2x+4y=2y \\ \end{array} \right. \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=x \\ y=x \\ \end{array} \right. \\ & {{v}_{2}}=(1,1),\text{para}\lambda =2. \\ & \\ \end{align}\] \)
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