Como diferencio um vetor LI de um vetor LD?

A dependência linear não é um conceito absoluto. Quero dizer que quando você diz que um vetor é linearmente dependente (LD), ele é linearmente dependente a um conjunto de vetores. Por outro lado, se o vetor é linearmente dependente, não existem vetores combinados que o formam. Para que vetores sejam linearmente independentes entre si, supondo os vetores v, u e w, não existe relação entre eles tal que as constantes a, b e c, na equação au + bv + cw = 0 sejam diferentes de 0. Se a = b = c = 0, então esses vetores são linearmente independentes entre si. Se, por outro lado, existirem a, b e c diferentes de 0, esses vetores são linearmente dependentes entre si.

Boa noite, Geovane.

O conceito de LD e LI é simples, mas há vários casos a serem considerados.

a) 1 vetor:

1 vetor é dito LD se ele é nulo.

v1 = 0 ⇒ u = λv1 = 0 ⇒ v1 gera 0 (vetor nulo)

1 vetor é dito LI se ele é não é nulo.

v1 ≠ 0 ⇒ u = λv1 ⇒ v1 gera uma família de retas paralelas

b) 2 vetores:

2 vetores são ditos LD se eles são PARALELOS entre si

v1 paralelo v2 ⇒ v2 = λv1 ⇒ v1 e v2 geram retas

2 vetores são ditos LI se eles não são PARALELOS entre si

v1 não é paralelo v2 ⇒ v2 ≠ λv1 ⇒ v1 e v2 geram uma família de planos

c) 3 vetores:

3 vetores são ditos LD se eles tem representantes em um mesmo plano. (são coplanares)

v1, v2 e v3 ⇒ geram, no máximo, planos

3 vetores são ditos LI se eles não tem representantes no mesmo plano

v1, v2 e v3 ⇒ geram o V3 (espaço vetorial)

Uma última definição, para ajudar a pensar em todos os casos acima:

Tendo os vetores v1, v2, v3... vn, estes vetores serão ditos LI se, no sistema:

λ1v1+λ2v2+λ3v3+...+λnvn=0

Só conseguir solução TRIVIAL, ou seja, λ1=λ2=λ3=...=λn=0

Caso consiga alguma solução diferente, serão LD.

Neste último caso significa que algum vetor pode ser escrito em função do outro.

Espero ter podido ajudar!

Abraços!

Faz o produto vetorial entre os vetores. Se o resultado for nulo, então eles são LD. Caso contrário, se for ≠ 0 então eles são LI. Se estiver em dúvida em como fazer produto vetorial, só mandar mesagem.