Ache o plano que passa pelo ponto P(3,-4,1) e forma com os três planos coordenados o tetraedro de volume mínimo. Como resolver?

Para começar, vamos lembrar o volume do tetraedro, que nada mais é que uma pirâmide cuja base é um triângulo retângulo e a altura é um eixo coordenado. Dessa forma, temos:

\(V={1\over3}A_bH={1\over3}\left({1\over2}ab\right)c={1\over6}abc\)

Temos então que minimizar esse volume. Sabemos que o plano passa pelo ponto P, portanto, temos:

\((x-x_0)+k_y(y-y_0)+k_z(z-z_0)=0\\ (x-3)+k_y(y+4)+k_z(z-1)=0\)

Sabemos que os pontos \((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)\)pertencem ao plano, logo podemos determinar as constantes das equações:

\(k_y(b+4)+k_z(0-1)=3\\ k_y(0+4)+k_z(c-1)=3\)

\((b+4)k_y-k_z=3\\ 4k_y+(c-1)k_z=3\)

Isolando \(k_z\) na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

\(\begin{align} 4k_y+(c-1)\left[(b+4)k_y-3\right]=3\\ 4k_y+(bc-b+4c-4)k_y-3c+3=3\\ (bc-b+4c)k_y-3c=0\\ k_y={3c\over bc-b+4c}\Rightarrow k_z=(b+4)k_y-3={3b\over bc-b+4c} \end{align}\)

Podemos, portanto reescrever a equação do plano como:

\(\begin{align} (bc-b+4c)(x-3)+3c(y+4)+3b(z-1)=0\\ (bc-b+4c)x-3(bc-b+4c)+3cy+12c+3bz-3b=0\\ (bc-b+4c)x+3cy+3bz-3bc=0\\ \end{align}\)

Lembremos que o ponto \((a,0,0)\) pertence ao plano, informação que ainda não  usamos:

\((bc-b+4c)a+3c\cdot0+3b\cdot0-3bc=0\\ abc-ab+4ac-3bc=0\)

Vamos então minimizar a função \(f(a,b,c)={1\over6}abc\), com a restrição \(g(a,b,c)=abc-ab+4ac-3bc=0\)usando multilicadores de Lagrange:

\(\nabla f(a,b,c)=\lambda\nabla g(a,b,c)\\ g(a,b,c)=0\)

Substituindo as definições, temos:

\(\left({\partial f\over\partial a},{\partial f\over\partial b},{\partial f\over\partial c}\right)=\lambda\left({\partial g\over\partial a},{\partial g\over\partial b},{\partial g\over\partial c}\right)\\ g(a,b,c)=0\)

Substituindo as funções, temos:

\(\left({1\over6}bc,{1\over6}ac,{1\over6}ab\right)=\lambda\left(bc-b+4c,ac-a-3c,ab+4a-3b\right)\\ abc-ab+4ac-3bc=0\)

Reescrevendo o sistema em 4 equações distintas, temos:

\(bc=6\lambda(bc-b+4c)\\ ac=6\lambda(ac-a-3c)\\ ab=6\lambda(ab+4a-3b)\\ abc-ab+4ac-3bc=0\)

Rearranjando a última equação de algumas formas distintas, temos:

\(bc=6\lambda\left({3bc\over a}\right)\\ ac=6\lambda\left({-4ac\over b}\right)\\ ab=6\lambda\left({ab\over c}\right)\)

\(a=18\lambda=2\cdot 3^2\lambda\\ b=-24\lambda=-2^3\cdot 3\lambda\\ c=6\lambda=2\cdot 3\lambda\)

Substituindo na restrição, temos:

\(\begin{align} abc-ab+4ac-3bc=0\\ -2^5\cdot3^4\lambda^3+2^43^3\lambda^2+2^4\cdot3^3\lambda^2+2^4\cdot3^3\lambda^2=0\\ 2^4\cdot3^3\lambda^2\left(-6\lambda+3\right)=0\\ \lambda={1\over2} \end{align}\)

Substituindo nos valores das dimensões do tetraedro, temos:

\(a=18\lambda=9\\ b=-24\lambda=-12\\ c=6\lambda=3\)

Perceba que uma das dimensões do tetraedro tem sinal negativo, o que indica que adotamos o sinal errado para o cruzamento do plano com o eixo, mas isso não altera a resposta, pois o extremo do oposto do volume também é extremo. Temos, portanto, que a equação do plano procurada é dada por:

\(\begin{align} (bc-b+4c)x+3cy+3bz-3bc=0\\ (-36+12+12)x+9y-36z+108=0\\ \boxed{4x-3y+12z=36}\\ \end{align}\)

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