É possível somar dimensões?

É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.

Assim, considerado como um espaço vetorial sobre os números reais {\displaystyle \mathbb {R} \,}, o espaço dos números complexos {\displaystyle \mathbb {C} \,} tem dimensão 2; considerado como um espaço vetorial sobre os números racionais {\displaystyle \mathbb {Q} \,}, a sua dimensão é {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\,} (a potência do contínuo).

Analogamente, {\displaystyle \mathbb {Q} [i,{\sqrt {3}}]\,} é um espaço de dimensão 2 sobre {\displaystyle \mathbb {Q} [{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]\,}, mas é um espaço de dimensão 4 sobre {\displaystyle \mathbb {Q} \,}

Como outro exemplo, tome-se o espaço de Hilbert cuja base de Hilbert seja enumerável. No contexto dos espaços de Hilbert, ele tem, obviamente, dimensão {\displaystyle \aleph _{0}\,}, porém, visto como espaço vetorial, a sua dimensão é {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\,}.