Vamos estudar a seguinte função quanto ao seu domínio e pontos críticos:

\(f(x) = {1\over6} x^3 − {1\over2} x^2 − {3\over2}x + 2\)

Perceba que essa é uma função polinomial, portanto o domínio da função é:

\(D=\mathbb{R}\)

Para encontrar os pontos críticos da função, temos que zerar sua derivada (obtida através da regra do tombo):

\(f'(x_0)=0={1\over2}x_0^2-x_0-{3\over2}\Rightarrow x_0^2-2x_0-3=0\)

Temos uma equação cuja soma das raízes é 2 e o produto é -3, o que nos dá:

\(x_0\in\lbrace3,-1\rbrace\)

Esses são os dois pontos críticos da função. Vamos calcular a segunda derivada para determinar o tipo de cada um desses pontos:

\(\begin{align} f''(x_0)=x_0-1\\ f''(3)=2>0\Rightarrow\text{ponto de mínimo local}\\ f''(-1)=-2<0\Rightarrow\text{ponto de máximo local} \end{align}\)

Temos, portanto, que o domínio da função é \(\boxed{D=\mathbb{R}}\) e os pontos críticos são \(\boxed{(x_0,f(x_0))=(3,-5/2)\ \text{(mínimo local)}}\) e \(\boxed{(x_0,f(x_0))=(-1,17/6)\ \text{(máximo local)}}\)