Como encontrar a solução particular da y'= x - y +2 ?

dy/dx = cos²(x)/cos²(2y)
dy[cos²(2y)]=dx[cos²(x)]
[cos²(x)]dx - [cos²(2y)]dy = 0
[INTEGRAL]cos²(x)dx - [INTEGRAL]cos²(2y)dy = [INTEGRAL]0
[1/2(x+ sen(x)cos(x)] - [1/8(4y + sen(4y)] = c
Sendo 2sen(x)cos(x) = sen(2x), então sen(x)cos(x) = sen(2x)/2
Resp:
x/2 + sen(2x)/4 - sen(4y)/8 - y/2 = c

Para encontrar solução particular, precisariamos de algum ponto dado, por exemplo \(y'(0)=1\) e \(y(0)=2\)

Seja:

\(y'= x - y +2 \\ y'+y=x +2 \)

Podemos utilizar o fator integrante:

\(p\left(x\right)=1\\ μ\left(x\right)=e^{\int1}\\ μ\left(x\right)=e^x\)

Multiplica ambos os lados da equação pelo fator integrante:

\(y'= x - y +2 \\ y'.e^x+y.e^x=(x +2).e^x\)

integra:

\(y'= x - y +2 \\ \int \frac{d(y.e^x)}{dx}=\int (x.e^x+2e^x)dx\\ y.e^x=\int (x.e^x+2e^x)dx\)

Resolvendo essa integral e isolando o \(y\) obtemos:

\(y=\frac{xe^x+e^x+c_1}{e^x}\)

A solução particular só pode ser encontrada se for dado os pontos mencionados anteriormente. Com eles encontramos \(c_1\) e a solução acima se torna particular.