Ache a área da região compreendida pelas curvas x = y2 e y = x-2

ghmghhmghm

Para determinar a área da região pedida, vamos primeiro determinar qual a região. Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

\(y=y^2-2\Rightarrow y^2-y-2=0\)

Resolvendo a equação, temos:

\(\begin{align} y_{\pm} &= {-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)} \over 2}\\ &= {1 \pm \sqrt{1+8} \over 2}\\ &={1\pm3\over2} \end{align}\)

Integrando a diferença entre as duas curvas no intervalo \(y_{-}=-1\leq y\leq 2=y_{+}\), temos:

\(\begin{align} A &= \int_{-1}^2y^2-(y+2)\ dy\\ &= \int_{-1}^2y^2-y-2\ dy\\ &= \left[{y^3\over3}-{y^2\over2}-2y\right]_{-1}^2\\ &= \left[\left({2^3\over3}-{2^2\over2}-2\cdot2\right)-\left({(-1)^3\over3}-{(-1)^2\over2}-2\cdot(-1)\right)\right]\\ &= \left[\left({8\over3}-2-4\right)-\left(-{1\over3}-{1\over2}+2\right)\right]\\ &= {9\over3}-8+{1\over2}\\ \end{align}\)

Logo a área procurada é dada por:

\(\boxed{A=-{9\over2}}\)