determine a função afim f(x)= ax+b sabendo que f(1)=5 e f(-3)=-7

Para responder essa questão, devemos saber que a função \( y=ax+b\) representa a equação geral de uma reta. Para descobrir os valores das constantes a e b, basta dois pontos dados ( afinal com dois pontos temos uma reta.)

Vamos então começar substituindo o ponto \(f(1)=5\), onde \(x=1\) e \(y=5\)

\( y=ax+b\\ 5=a.1+b\\ 5=a+b\)

Vamos isolar o "\(b\):

\(5=a+b\\ \)

\(b=5-a\:\: \) Equação \(1\)

Agora vamos substituir o ponto \(f(-3)=-7\), onde \(x=-3\) e \(y=-7\):

\( y=ax+b\\ -7=a.(-3)+b\\ \)

\(-7=-3a+b \:\: \) Equação \( 2\)

Agora vamos substituir a Equação \(1\) na Equação \( 2\):

\(-7=-3a+b\\ -7=-3a+(5-a)\\ -7=-3a+5-a\\ -7=-4a+5\\ 4a=5+7\\ 4a=12\\ a=\frac{12}4\\ a=3\)

Vamos substituir esse valor de a na equação \(1\):

\(b=5-a\\ b=5-3\\ \\ b=2\)

Temos então o valor de "\(a\)" e de "\(b\)". Podemos substituir na equação geral:

\( y=ax+b\\ y=3x+2\)

Portanto, a equação pedida é \(\boxed{y=3x+2}\)

Usando f(1)=5

1=5a+b

Usando f(-3)=-7

-7=-3a+b

Dessa forma teremos um sistema

1=5a+b (1)

-7=-3a+b (2)

Mutiplicando a equacao (2)  por -1 teremos que 

7=3a-b

Usando a propriedade de soma em um sistema

1=5a+b (1)

           +

7=3a-b (2)

Teremos uma nova equacao

8=8a , ou seja, a=1

Substituindo 'a' em (1), teremos que

1=5x1+b , ou seja, b=-4

Dessa forma a funcao afim sera 

f(x)=1x-4

f(1)= a(1) + b =5

a+b=5

b=5-a

f(-3)= a(-3)+b=-7

-3a+b=-7

-3a+5-a=-7

-3a-a=-7-5

-4a=-12

4a=12

a=3

--> b=5-a = b=5-3 => b=2 

Logo a função afim é f(x)=3x+2