Como calculo a distância de um plano ao outro?

Essa videoaula explica bem:

http://www.youtube.com/watch?v=3QmlUfAT7A0

Mas resumidamente é o seguinte:

Suponha dois planos α e β e um ponto P pertecente a α. A distância entre α e β é igual a distância entre  P e β.

A distância de um ponto a um plano é dado por:

d(P,β)= | ax0+ by0 + cz0 + d| / √(a² + b² + c²)

em que P = ( x0 , y0 , z0) é um ponto qualquer de α e  ax+ by + cz + d = 0 é a equação do plano β.

Obrigado !

Para responder essa pergunta devemos colocar em prática o nosso conhecimento sobre Geometria Analítica e Álgebra Linear.

Primeiro, deve-se entender a equação geral do plano, além de saber se os planos precisam ser paralelos. A equação do plano é:

Para serem paralelos os vetores normais devem ser também paralelos. Isso ocorre quando o vetor normal de um plano é uma combinação linear do outro. Exemplo:

Desta forma, o vetor normal de α e β são respectivamente (2,2,-1) e (-2,-2,1) e eles são paralelos pois um é combinação linear do outro. Então os planos são paralelos.

Em seguida basta obter um ponto qualquer de um dos planos. Vamos utilizar o plano β. Assim, se adotarmos x=0 e y=0, obteremos que z=1, logo um ponto do plano β é o (0,0,1). Assim, basta usar a fórmula da distância entre um plano e outro dada por:

Onde x0, y0 e z0 são as coordenadas do ponto de um dos planos. Os valores a, b, c e d são do outro plano.

Então, se usarmos o ponto do plano β que é (0,0,1), os valores de a, b, c, d serão do plano α e então a=2, b=2, c=-1, d=6