Buscar

como fazer integral de 0,1+te^-0,2t

Ainda não temos respostas

Você sabe responder essa pergunta?

Crie uma conta e ajude outras pessoas compartilhando seu conhecimento!

User badge image

RD Resoluções

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre integral para realizar a seguinte integração:

\(\Longrightarrow \int (0,1 +t)e^{-0,2t} \space dt\)


É possivel reescrever a integral anterior da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int (0,1 +t)e^{-0,2t} \space dt\)

\(\Longrightarrow \int 0,1e^{-0,2t} \space dt + \int te^{-0,2t} \space dt\)     \((I)\)


Primeiro, será realizada a integral \(\int 0,1e^{-0,2t} \space dt \) da equação \((I)\). A expressão resultante é:

\(\Longrightarrow \int 0,1e^{-0,2t} \space dt= 0,1\int e^{-0,2t} \space dt\)

                             \(= 0,1\Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t}+c_1 \Big )\)

                             \(= -{1 \over 2}e^{-0,2t}+c_1\)

Sendo \(c_1\) uma constante qualquer.


Portanto, a integral de \(\int 0,1e^{-0,2t} \space dt \) é:

\(\Longrightarrow \int 0,1e^{-0,2t} \space dt = -{1 \over 2}e^{-0,2t}+c_1\)             \((II)\)


Agora, será realizada a integral \(\int te^{-0,2t} \space dt \) da equação \((I)\). Será utilizado o método da integração por partes. Considerando duas funções \(u\) e \(v\), a equação geral da integração por partes é:

\(\Longrightarrow \int u \space dv=uv-\int v \space du\)


Considerando \(u=t\) e \(dv=e^{-0,2t} \space dt\), tem-se os seguintes termos:

\(\Longrightarrow {du \over dt}={d \over dt}t \)   \(\rightarrow {du \over dt}=1\)  \(\rightarrow du=dt\)

\(\Longrightarrow {dv \over dt}=e^{-0,2t}\)             \(\rightarrow v={1 \over -0,2}e^{-0,2t}\)


Substituindo os termos conhecidos, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int u \space dv=uv-\int v \space du\)

\(\Longrightarrow \int te^{-0,2t} \space dt=t \Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t} \Big)-\int \Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t} \Big) \space dt\)


Através de algumas manipulações, a integral fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int te^{-0,2t} \space dt=-5te^{-0,2t}+5\int e^{-0,2t} \space dt\)

                         \(=-5te^{-0,2t}+5\Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t}+c_2 \Big)\)

 \(\Longrightarrow \int te^{-0,2t} \space dt=-5te^{-0,2t}-25e^{-0,2t}+c_2\)         \((III)\)

Sendo \(c_2\) uma constante qualquer.


Substituindo as equações \((II)\) e \((III)\) na expressão \((I)\), a expressão resultante é:

\(\Longrightarrow \color{Blue}{\int 0,1e^{-0,2t} \space dt} + \color{Red}{\int te^{-0,2t} \space dt}\)

\(\Longrightarrow \color{Blue}{-{1 \over 2}e^{-0,2t}+c_1} + \Big[ \color{Red}{-5te^{-0,2t}-25e^{-0,2t}+c_2}\Big]\)

\(\Longrightarrow -0,5e^{-0,2t} -5te^{-0,2t}-25e^{-0,2t}+c\)

\(\Longrightarrow (-0,5 -5t-25)e^{-0,2t}+c\)

\(\Longrightarrow - (5t+25,5)e^{-0,2t}+c\)


Concluindo, a integral pedida no enunciado é:

\(\Longrightarrow \fbox{$ \int (0,1 +t)e^{-0,2t} \space dt=- (5t+25,5)e^{-0,2t}+c$}\)​​​​​​​

0
Dislike0

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis


✏️ Responder

SetasNegritoItálicoSublinhadoTachadoCitaçãoCódigoLista numeradaLista com marcadoresSubscritoSobrescritoDiminuir recuoAumentar recuoCor da fonteCor de fundoAlinhamentoLimparInserir linkImagemFórmula

Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.

User badge image

Outros materiais