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Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre integral para realizar a seguinte integração:
\(\Longrightarrow \int (0,1 +t)e^{-0,2t} \space dt\)
É possivel reescrever a integral anterior da seguinte forma:
\(\Longrightarrow \int (0,1 +t)e^{-0,2t} \space dt\)
\(\Longrightarrow \int 0,1e^{-0,2t} \space dt + \int te^{-0,2t} \space dt\) \((I)\)
Primeiro, será realizada a integral \(\int 0,1e^{-0,2t} \space dt \) da equação \((I)\). A expressão resultante é:
\(\Longrightarrow \int 0,1e^{-0,2t} \space dt= 0,1\int e^{-0,2t} \space dt\)
\(= 0,1\Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t}+c_1 \Big )\)
\(= -{1 \over 2}e^{-0,2t}+c_1\)
Sendo \(c_1\) uma constante qualquer.
Portanto, a integral de \(\int 0,1e^{-0,2t} \space dt \) é:
\(\Longrightarrow \int 0,1e^{-0,2t} \space dt = -{1 \over 2}e^{-0,2t}+c_1\) \((II)\)
Agora, será realizada a integral \(\int te^{-0,2t} \space dt \) da equação \((I)\). Será utilizado o método da integração por partes. Considerando duas funções \(u\) e \(v\), a equação geral da integração por partes é:
\(\Longrightarrow \int u \space dv=uv-\int v \space du\)
Considerando \(u=t\) e \(dv=e^{-0,2t} \space dt\), tem-se os seguintes termos:
\(\Longrightarrow {du \over dt}={d \over dt}t \) \(\rightarrow {du \over dt}=1\) \(\rightarrow du=dt\)
\(\Longrightarrow {dv \over dt}=e^{-0,2t}\) \(\rightarrow v={1 \over -0,2}e^{-0,2t}\)
Substituindo os termos conhecidos, a equação resultante é:
\(\Longrightarrow \int u \space dv=uv-\int v \space du\)
\(\Longrightarrow \int te^{-0,2t} \space dt=t \Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t} \Big)-\int \Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t} \Big) \space dt\)
Através de algumas manipulações, a integral fica da seguinte forma:
\(\Longrightarrow \int te^{-0,2t} \space dt=-5te^{-0,2t}+5\int e^{-0,2t} \space dt\)
\(=-5te^{-0,2t}+5\Big({1 \over -0,2}e^{-0,2t}+c_2 \Big)\)
\(\Longrightarrow \int te^{-0,2t} \space dt=-5te^{-0,2t}-25e^{-0,2t}+c_2\) \((III)\)
Sendo \(c_2\) uma constante qualquer.
Substituindo as equações \((II)\) e \((III)\) na expressão \((I)\), a expressão resultante é:
\(\Longrightarrow \color{Blue}{\int 0,1e^{-0,2t} \space dt} + \color{Red}{\int te^{-0,2t} \space dt}\)
\(\Longrightarrow \color{Blue}{-{1 \over 2}e^{-0,2t}+c_1} + \Big[ \color{Red}{-5te^{-0,2t}-25e^{-0,2t}+c_2}\Big]\)
\(\Longrightarrow -0,5e^{-0,2t} -5te^{-0,2t}-25e^{-0,2t}+c\)
\(\Longrightarrow (-0,5 -5t-25)e^{-0,2t}+c\)
\(\Longrightarrow - (5t+25,5)e^{-0,2t}+c\)
Concluindo, a integral pedida no enunciado é:
\(\Longrightarrow \fbox{$ \int (0,1 +t)e^{-0,2t} \space dt=- (5t+25,5)e^{-0,2t}+c$}\)
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