Quantos números 1 eu tenho de 1 até 191?

132 numeros 1

132

Vamos dividir este intervalo em partes: 1 a 10, 11 a 20, 21 a 30, 31 a 40, 41 a 50, 51 a 60, 61 a 70, 71 a 80, 81 a 90, 91 a 100, 101 a 110, 111 a 120, 121 a 130, 131 a 140, 141 a 150, 151 a 160, 161 a 170, 171 a 180, 181 a 190 e 191.

Temos: 

• De 1 a 10: apenas o 1 e o 10, totalizando 2 nesta parte;
• De 11 a 20: são números na forma XY, onde X é 1 até o 19, e Y é 1 apenas no 11, totalizando 9 + 1 = 10 nesta parte;
• De 21 a 30, de 31 a 40, de 41 a 50, de 51 a 60, de 61 a 70, de 71 a 80, de 81 a 90 e de 91 a 99: são números na forma XY, onde X nunca é 1, e Y é 1 uma vez por intervalo. Assim, temos 1 número 1 para cada intervalo, totalizando 8 nesta parte;
• No 100: 1 nesta parte;
• De 101 a 110: são números na forma XYZ, onde X sempre é 1, Y é 1 apenas no 110, e Z é 1 apenas no 101, totalizando 10 + 1 + 1 = 12 nessa parte;
• De 111 a 120: são números na forma XYZ, onde X sempre é 1, Y é 1 9 vezes, e Z é 1 apenas no 111, totalizando 20 nessa parte;
• De 121 a 130, 131 a 140, 141 a 150, 151 a 160, 161 a 170, 171 a 180, 181 a 190: são números na forma XYZ, onde X sempre é 1, Y nunca é 1, e Z é 1 uma vez por conjunto, totalizando 10 * 7 + 1 * 7 = 77 nessa parte; e
• No 191: 2.

Total de 1 a 191: 2 + 10 + 8 + 1 + 12 + 20 + 77 + 2 = 132 vezes.

Portanto, o algarismo $1$ aparece $132$ vezes nos números de $1$ a $191$.