∫24 ∫12 (x² + y²) dydx

= 24∫12∫ (x^2 + y^2)dydx

= 24∫12 (x^2y + Y^3/3) dx

= 288 (x^32y)/3 + Y^3x/3)

= (576x^3y)/3 + (288y^3x)/3

= 192x^3y + 96xy^3

96(yx³+xy³)

Esse exercicio é o caso de integral dupla e pode ser calculada utilizando o Teorema de Fubini

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna em relação a \(y\), isto é:

\(\int 24 \int 12 (x² + y²) dydx\\ \int 24 \int [12 (x² + y²) dy]dx\)

Com isso, \(x\) passa a ser constante. Vamos integrá-la:

\(∫[12 (x² + y²) dy] = ∫12 (x² + y²) dy \\ ∫12 (x² + y²) dy = 12 [x² y+(\frac{y³}3)]\)

Agora substituimos na integral original

\(∫24 ∫12 (x² + y²) dydx = ∫24.12 [x² y+(\frac{y³}3)] dx\)

Agora vamos integrar em relação a \(X\) . Nesse caso \(y\) é constante:

\(∫24.12 [x² y+(\frac{y³}3)] dx=  288[ (\frac{x³}3)y+ (\frac{y³}3)x]\)

\(\frac{288}3 [ x³y+ y³x]\)

Portanto, \(\boxed{∫24 ∫12 (x² + y²) dydx=\frac{288}3 [ x³y+ y³x]}\)