Quremos maximizar a função \(f(a,b)\), restrita à condição \(g(a,b)=0\):
\(f(a,b)=3a+b\\ g(a,b)=a^2+b^2-4^2=0\)
Para tal, vamos usar multiplicadores de Lagrange, isto é, o gradiente das duas funções devem ser paralelos:
\(\nabla f(a,b)=\lambda\nabla g(a,b)\\ g(a,b)=0\)
\(\left({\partial f\over\partial a},{\partial f\over\partial b}\right)=\lambda\left({\partial g\over\partial a},{\partial g\over\partial b}\right)\\ g(a,b)=0\)
Substituindo as funções, temos:
\(\left(3,1\right)=\lambda\left(2a,2b\right)\\ a^2+b^2=16\)
Reescrevendo a primeira equação em duas separadas, temos:
\(a={3\over2\lambda}\\ b={1\over2\lambda}\\ a^2+b^2=16\)
Substituindo as duas primeiras na segunda, temos:
\(\begin{align} \left({3\over2\lambda}\right)^2+\left({1\over2\lambda}\right)^2&=16\\ {9+1\over4\lambda^2}&=16\\ {1\over4\lambda^2}&={16\over10}\\ {1\over2\lambda}&={4\over\sqrt{10}} \end{align}\)
Substituindo nas expressões dos catetos, temos:
\(a_{\lambda}={3\over2\lambda}={12\over\sqrt{10}}\\ b_{\lambda}={1\over2\lambda}={4\over\sqrt{10}}\)
Substituindo na expressão da função, temos:
\(f_{max}(a,b)=3a_{\lambda}+b_{\lambda}={36\over\sqrt{10}}+{4\over\sqrt{10}}={40\over\sqrt{10}}\)
Racionalizando o denominador, temos:
\(\boxed{f_{max}(a,b)=4\sqrt{10}}\)
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