triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa igual à 4m.Calcule o valor máximo que pode alcançar a soma do triplo de um cateto com o outro cateto

210, porém não sei como faz o calculo, já pesquisei em diversos foruns, mas não obtive exito

Quremos maximizar a função \(f(a,b)\), restrita à condição \(g(a,b)=0\):

\(f(a,b)=3a+b\\ g(a,b)=a^2+b^2-4^2=0\)

Para tal, vamos usar multiplicadores de Lagrange, isto é, o gradiente das duas funções devem ser paralelos:

\(\nabla f(a,b)=\lambda\nabla g(a,b)\\ g(a,b)=0\)

\(\left({\partial f\over\partial a},{\partial f\over\partial b}\right)=\lambda\left({\partial g\over\partial a},{\partial g\over\partial b}\right)\\ g(a,b)=0\)

Substituindo as funções, temos:

\(\left(3,1\right)=\lambda\left(2a,2b\right)\\ a^2+b^2=16\)

Reescrevendo a primeira equação em duas separadas, temos:

\(a={3\over2\lambda}\\ b={1\over2\lambda}\\ a^2+b^2=16\)

Substituindo as duas primeiras na segunda, temos:

\(\begin{align} \left({3\over2\lambda}\right)^2+\left({1\over2\lambda}\right)^2&=16\\ {9+1\over4\lambda^2}&=16\\ {1\over4\lambda^2}&={16\over10}\\ {1\over2\lambda}&={4\over\sqrt{10}} \end{align}\)

Substituindo nas expressões dos catetos, temos:

\(a_{\lambda}={3\over2\lambda}={12\over\sqrt{10}}\\ b_{\lambda}={1\over2\lambda}={4\over\sqrt{10}}\)

Substituindo na expressão da função, temos:

\(f_{max}(a,b)=3a_{\lambda}+b_{\lambda}={36\over\sqrt{10}}+{4\over\sqrt{10}}={40\over\sqrt{10}}\)

Racionalizando o denominador, temos:

\(\boxed{f_{max}(a,b)=4\sqrt{10}}\)